设函数f(x)=a•(b+c),其中向量a=(sinx,-cosx),b=(sinx,-3cosx),c=(-cosx,sinx),x∈R.(Ⅰ)求函数f(x)的最大值和最小正周期;(Ⅱ)将函数f(x

题目简介

设函数f(x)=a•(b+c),其中向量a=(sinx,-cosx),b=(sinx,-3cosx),c=(-cosx,sinx),x∈R.(Ⅰ)求函数f(x)的最大值和最小正周期;(Ⅱ)将函数f(x

题目详情

设函数f(x)=
a
•(
b
+
c
)
,其中向量
a
=(sinx,-cosx)
b
=(sinx,-3cosx)
c
=(-cosx,sinx)
,x∈R.
(Ⅰ)求函数f(x)的最大值和最小正周期;
(Ⅱ)将函数f(x)的图象按向量
d
平移,使平移后得到的图象关于坐标原点成中心对称,求长度最小的
d
题型:解答题难度:中档来源:湖北

答案

(Ⅰ)由题意得,f(x)=a•(b+c)=(sinx,-cosx)•(sinx-cosx,sinx-3cosx)
=sin2x-2sinxcosx+3cos2x=2+cos2x-sin2x=2+
2
sin(2x+class="stub"3π
4
).
所以,f(x)的最大值为2+
2
,最小正周期是class="stub"2π
2
=π.
(Ⅱ)由sin(2x+class="stub"3π
4
)=0得2x+class="stub"3π
4
=k.π,即x=class="stub"kπ
2
-class="stub"3π
8
,k∈Z,
于是d=(class="stub"kπ
2
-class="stub"3π
8
,-2),|d|=
(class="stub"kπ
2
-class="stub"3π
8
)
2
+4
,k∈Z.
因为k为整数,要使|d|最小,则只有k=1,此时d=(-class="stub"π
8
,-2)即为所求.

更多内容推荐