已知函数f(x)=3sin(ωx+ϕ)-cos(ωx+ϕ)(0<ϕ<π,ω>0),(Ⅰ)若函数y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为π2,且它的图象过(0,1)点,求函数y=f(x)的表达式;(Ⅱ)

题目简介

已知函数f(x)=3sin(ωx+ϕ)-cos(ωx+ϕ)(0<ϕ<π,ω>0),(Ⅰ)若函数y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为π2,且它的图象过(0,1)点,求函数y=f(x)的表达式;(Ⅱ)

题目详情

已知函数f(x)=
3
sin(ωx+ϕ)-cos(ωx+ϕ)(0<ϕ<π,ω>0)

(Ⅰ)若函数y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为
π
2
,且它的图象过(0,1)点,求函数y=f(x)的表达式;
(Ⅱ)将(Ⅰ)中的函数y=f(x)的图象向右平移
π
6
个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求函数y=g(x)的单调递增区间;
(Ⅲ)若f(x)的图象在x∈(a,a+
1
100
) (a∈R)
上至少出现一个最高点或最低点,则正整数ω的最小值为多少?
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(Ⅰ)f(x)=
3
sin(ωx+ϕ)-cos(ωx+ϕ)

=2[
3
2
sin(ωx+ϕ)-class="stub"1
2
cos(ωx+ϕ)]

=2sin(ωx+ϕ-class="stub"π
6
)
(3分)
由题意得class="stub"2π
ω
=2×class="stub"π
2
,所以ω=2所以f(x)=2sin(2x+ϕ-class="stub"π
6
)

又因为y=f(x)的图象过点(0,1),
sin(ϕ-class="stub"π
6
)=class="stub"1
2

又∵0<φ<π
ϕ=class="stub"π
3

f(x)=2sin(2x+class="stub"π
6
)
(6分)
(Ⅱ)将f(x)的图象向右平移class="stub"π
6
个单位后,得到y=2sin(2x-class="stub"π
6
)
的图象,
再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到y=2sin(class="stub"1
2
x-class="stub"π
6
)
的图象.
g(x)═2sin(class="stub"1
2
x-class="stub"π
6
)
(9分)
2kπ-class="stub"π
2
≤class="stub"1
2
x-class="stub"π
6
≤2kπ+class="stub"π
2
,则4kπ-class="stub"2π
3
≤x≤4kπ+class="stub"4π
3

∴g(x)的单调递增区间为[4kπ-class="stub"2π
3
,4kπ+class="stub"4π
3
] (k∈Z)
.(12分)
(Ⅲ)若f(x)的图象在x∈(a,a+class="stub"1
100
) (a∈R)
上至少出现一个最高点或
最低点,则class="stub"π
ω
<class="stub"1
100
,即ω>100π,又ω为正整数,
∴ωmin=315.(15分)

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