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已知函数f（x）=2asin2x+23asinx•cosx+a+b，（a＞0，x∈R），当x∈[0，π2]时，其最大值为6，最小值为3，（1）求函数的最小正周期；（2）写出函数的单调递减区间；（3）求

题目简介

已知函数f（x）=2asin2x+23asinx•cosx+a+b，（a＞0，x∈R），当x∈[0，π2]时，其最大值为6，最小值为3，（1）求函数的最小正周期；（2）写出函数的单调递减区间；（3）求

题目详情

已知函数f（x）=2asin2x+2
3
asinx•cosx+a+b，（a＞0，x∈R），当x∈[0，
π
2
]时，其最大值为6，最小值为3，
（1）求函数的最小正周期；
（2）写出函数的单调递减区间；
（3）求a，b的值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵f（x）=2asin2x+2
3
asinxcosx+a+b
=a（1-cos2x）+
3
asin2x+a+b
=2asin（2x-class="stub"π
6
）+2a+b
∴T=π
（2）∵a＞0，
令2kπ+class="stub"π
2
≤2x-class="stub"π
6
≤2kπ+class="stub"3π
2
，k∈Z
解得kπ+class="stub"π
3
≤x≤kπ+class="stub"5π
6
，k∈Z
∴单调减区间为[kπ+class="stub"π
3
，kπ+class="stub"5π
6
]（k∈Z）
（3）x∈[0，class="stub"π
2
]时，
2x-class="stub"π
6
∈[-class="stub"π
6
，class="stub"5π
6
]
则有：sin（2x-class="stub"π
6
）∈[-class="stub"1
2
，1]，
又∵当x∈[0，class="stub"π
2
]时，最大值为6，最小值为3
即a+b=3，4a+b=6，
则 a=1，b=2为所求．

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