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已知函数f（x）=Asin2（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π2），且y=f（x）的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）．（Ⅰ）求ϕ；（Ⅱ）计算f（1）+f（2）+…+f

题目简介

已知函数f（x）=Asin2（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π2），且y=f（x）的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）．（Ⅰ）求ϕ；（Ⅱ）计算f（1）+f（2）+…+f

题目详情

已知函数f（x）=Asin2（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜
π
2
），且y=f（x）的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）．
（Ⅰ）求ϕ；
（Ⅱ）计算f（1）+f（2）+…+f（2008）．
题型：解答题难度：中档来源：山东

答案

（I）y=Asin2(ωx+φ)=class="stub"A
2
-class="stub"A
2
cos(2ωx+2φ)．
∵y=f（x）的最大值为2，A＞0．
∴class="stub"A
2
+class="stub"A
2
=2，A=2．
又∵其图象相邻两对称轴间的距离为2，ω＞0，
∴class="stub"1
2
(class="stub"2π
2ω
)=2，ω=class="stub"π
4
．
∴f(x)=class="stub"2
2
-class="stub"2
2
cos(class="stub"π
2
x+2φ)=1-cos(class="stub"π
2
x+2φ)．
∵y=f（x）过（1，2）点，∴cos(class="stub"π
2
x+2φ)=-1．
∴class="stub"π
2
x+2φ=2kπ+π，k∈Z，∴2φ=2kπ+class="stub"π
2
，k∈Z，
∴φ=kπ+class="stub"π
4
，k∈Z，
又∵0＜φ＜class="stub"π
2
，
∴φ=class="stub"π
4
．

（II）解法一：∵φ=class="stub"π
4
，f(x)=2sin2(class="stub"π
4
x+class="stub"π
4
)
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+1+0+1=4．
又∵y=f（x）的周期为4，2008=4×502，
∴f（1）+f（2）++f（2008）=4×502=2008．
解法二：∵f(x)=2sin2(class="stub"π
4
x+φ)
∴f(1)+f(3)=2sin2(class="stub"π
4
+φ)+2sin2(class="stub"3π
4
+φ)=2，f(2)+f(4)=2sin2(class="stub"π
2
+φ)+2sin2(π+φ)=2，
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=4．
又（±2，0）的周期为4，2008=4×502，
∴f（1）+f（2）++f（2008）=4×502=2008．

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