已知f(x)是定义在[-e,0)∪(0,e]上的奇函数,当x∈(0,e]时,f(x)=ax+2lnx,(a<0,a∈R)(1)求f(x)的解析式;(2)是否存在实数a,使得当x∈[-e,0)时,f(x

题目简介

已知f(x)是定义在[-e,0)∪(0,e]上的奇函数,当x∈(0,e]时,f(x)=ax+2lnx,(a<0,a∈R)(1)求f(x)的解析式;(2)是否存在实数a,使得当x∈[-e,0)时,f(x

题目详情

已知f(x)是定义在[-e,0)∪(0,e]上的奇函数,当x∈(0,e]时,f(x)=ax+2lnx,(a<0,a∈R)
(1)求f(x)的解析式;
(2)是否存在实数a,使得当x∈[-e,0)时,f(x)的最小值是4?如果存在,求出a的值;如果不存在,请说明理由.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)设x=[-e,0),则-x∈(0,e]∴f(-x)=-ax+2ln(-x).∵f(x)是定义在[-e,0)∪(0,e],上的奇函数,∴f(x)=-f(-x)=ax-2ln(-x).
故函数f(x)的解析式为:f(x)=
ax-2ln(-x)x∈[-e,0)
ax+2lnx,x∈(0,e]

(2)假设存在实数a,使得当x∈(-e,0]时,f(x)=ax-2ln(-x)有最小值是3.
f′(x)=a-class="stub"2
x
=class="stub"ax-2
x

①当class="stub"2
a
≤-e,即-class="stub"2
e
≤a<0
时,
由于x∈[-e,0),则f'(x)≥0.故函数f(x)=ax-2ln(-x)是[-e,0)上的增函数.
∴所以f(x)min=f(-e)=-ae-2=4,解得a=-class="stub"6
e
<-class="stub"2
e
(舍去)
②当class="stub"2
a
>-e,即a<-class="stub"2
e
时,则

x(-e,class="stub"2
a
)
(class="stub"2
a
,0)
f'(x)-+
f(x)
f(x)min=f(class="stub"2
a
)=2-2ln(-class="stub"2
a
)=4
,解得a=-2e
综上所知,存在实数a=-2e,使得当x∈[-e,0)时,f(x)最小值4.

更多内容推荐