在△ABC中,已知y=2+cosCcos(A-B)-cos2C.(1)若△ABC是正三角形,求y的值;(2)若任意交换A,B,C的位置,y的值是否会发生变化?试证明你的结论;(3)求y的最大值,并判断

题目简介

在△ABC中,已知y=2+cosCcos(A-B)-cos2C.(1)若△ABC是正三角形,求y的值;(2)若任意交换A,B,C的位置,y的值是否会发生变化?试证明你的结论;(3)求y的最大值,并判断

题目详情

在△ABC中,已知y=2+cosCcos(A-B)-cos2C.
(1)若△ABC是正三角形,求y的值;
(2)若任意交换A,B,C的位置,y的值是否会发生变化?试证明你的结论;
(3)求y的最大值,并判断此时△ABC的形状.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)若△ABC是正三角形,则y=2+cos60°cos0°-cos260°=class="stub"9
4

(2)∵y=2+cosCcos(A-B)-cos2C=2-cos(A+B)cos(A-B)-cos2C
=2-class="stub"1
2
(cos2A+cos2B)-cos2C

=2-class="stub"1
2
(2cos2A-1+2cos2B-1)-cos2C

=3-cos2A-cos2B-cos2C=sin2A+sin2B+sin2C
∴任意交换A,B,C的位置,y的值不会发生变化.
(3)将y看作是关于cosC的二次函数.y=2+cosCcos(A-B)-cos2C=-(cosC-class="stub"1
2
cos(A-B))2+class="stub"1
4
cos2(A-B)+2

所以,当cosC=class="stub"1
2
cos(A-B)
,且cos2(A-B)取到最大值1时,也即A=B=C=class="stub"π
3
时,y取得最大值class="stub"9
4

也可有如下简单解法:y=2+cosCcos(A-B)-cos2C≤2+|cosC|-|cosC|2=class="stub"9
4
-(|cosC|-class="stub"1
2
)2≤class="stub"9
4

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