首页 > 已知m=(32cosx，1+cosx)，n=(2sinx，1-cosx)，x∈R，函数f（x）=m•n．（I）求f（π3）的值；（II）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅲ）求f（x）在区间[0，5π12

已知m=(32cosx，1+cosx)，n=(2sinx，1-cosx)，x∈R，函数f（x）=m•n．（I）求f（π3）的值；（II）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅲ）求f（x）在区间[0，5π12

题目简介

已知m=(32cosx，1+cosx)，n=(2sinx，1-cosx)，x∈R，函数f（x）=m•n．（I）求f（π3）的值；（II）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅲ）求f（x）在区间[0，5π12

题目详情

已知m=(
3
2
cosx，1+cosx)，n=(2sinx，1-cosx)，x∈R，函数f（x）=
m
•
n
．
（I）求f（
π
3
）的值；   
（II）求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅲ）求f（x）在区间[0，
5π
12
]上的最值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（I）根据题意，得f（x）=
m
•
n
=
3
2
cosx•2sinx+（1+cosx）（1-cosx）
=
3
2
sin2x+1-cos2x=
3
2
sin2x+class="stub"1-cos2x
2
=sin（2x-class="stub"π
6
）+class="stub"1
2

∴f（class="stub"π
3
）=sin（class="stub"2π
3
-class="stub"π
6
）+class="stub"1
2
=1+class="stub"1
2
=class="stub"3
2

（II）令-class="stub"π
2
+2kπ≤2x-class="stub"π
6
≤class="stub"π
2
+2kπ，（其中k是整数）
可得-class="stub"π
6
+kπ≤x≤class="stub"π
3
+kπ
∴函数f（x）的单调增区间为（-class="stub"π
6
+kπ，class="stub"π
3
+kπ）．（k∈Z）
（III）∵x∈[0，class="stub"5π
12
]
∴2x-class="stub"π
6
∈[-class="stub"π
6
，class="stub"2π
3
]，可得-class="stub"1
2
≤sin（2x-class="stub"π
6
）≤1
因此0≤sin（2x-class="stub"π
6
）+class="stub"1
2
≤class="stub"3
2
，f（x）在区间[0，class="stub"5π
12
]上的最值小值为0，最大值为class="stub"3
2

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