在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知cosA-2cosCcosB=2c-ab.(I)求sinCsinA的值;(II)若cosB=14,△ABC的周长为5,求b的长,并求cos(2A

题目简介

在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知cosA-2cosCcosB=2c-ab.(I)求sinCsinA的值;(II)若cosB=14,△ABC的周长为5,求b的长,并求cos(2A

题目详情

在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知
cosA-2cosC
cosB
=
2c-a
b

(I)求
sinC
sinA
的值;
(II)若cosB=
1
4
,△ABC的周长为5,求b的长,并求cos(2A+
π
4
)
的值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(I)因为class="stub"cosA-2cosC
cosB
=class="stub"2c-a
b

所以class="stub"cosA-2cosC
cosB
=class="stub"2sinC-sinA
sinB

即:cosAsinB-2sinBcosC=2sinCcosB-COSbsinA
所以sin(A+B)=2sin(B+C),即sinC=2sinA
所以class="stub"sinC
sinA
=2
(II)由(1)可知c=2a…①
a+b+c=5…②
b2=a2+c2-2accosB…③
cosB=class="stub"1
4
…④
解①②③④可得a=1,b=c=2;
所以b=2,由余弦定理可知cosA=
b2+c2-a2
2bc
=class="stub"7
8
,所以sinA=
15
8

cos(2A+class="stub"π
4
)
=
2
2
cos2A-
2
2
sin2A

=
2
cos2A-
2
2
-
2
sinAcosA

=
2
(class="stub"7
8
)
2
-
2
2
-
2
×
15
8
×class="stub"7
8

=
17
2
-7
30
64

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