已知函数f(x)=4sin2π+2x4•sinx+(cosx+sinx)(cosx-sinx).(1)化简f(x);(2)已知常数ω>0,若函数y=f(ωx)在区间[-π2,2π3]上是增函数,求ω的

题目简介

已知函数f(x)=4sin2π+2x4•sinx+(cosx+sinx)(cosx-sinx).(1)化简f(x);(2)已知常数ω>0,若函数y=f(ωx)在区间[-π2,2π3]上是增函数,求ω的

题目详情

已知函数f(x)=4sin2
π+2x
4
 • sinx+(cosx+sinx)(cosx-sinx)

(1)化简f(x);
(2)已知常数ω>0,若函数y=f(ωx)在区间[-
π
2
,  
3
]
上是增函数,求ω的取值范围;
(3)若方程f(x)(sinx-1)+a=0有解,求实数a的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)f(x)=2[1-cos(class="stub"π
2
+x)] • sinx+cos2x-sin2x
=(2+2sinx)sinx+1-2sin2x=2sinx+1(14分)
(2)∵f(ωx)=2sinωx+1
2kπ-class="stub"π
2
≤ωx≤2kπ+class="stub"π
2
得class="stub"2kπ
ω
-class="stub"π
≤x≤class="stub"2kπ
ω
+class="stub"π
,k∈Z

∴f(ωx)的递增区间为[class="stub"2kπ
ω
-class="stub"π
,  class="stub"2kπ
ω
+class="stub"π
],k∈Z

∵f(ωx)在[-class="stub"π
2
,  class="stub"2π
3
]
上是增函数
∴当k=0时,有[-class="stub"π
2
,  class="stub"2π
3
]⊆[-class="stub"π
,  class="stub"π
]

ω>0
-class="stub"π
≤-class="stub"π
2
class="stub"π
≥class="stub"2π
3
解得  0<ω≤class="stub"3
4

∴ω的取值范围是(0,  class="stub"3
4
]
(8分)
(3)解一:方程f(x)(sinx-1)+a=0即为(2sinx+1)(sinx-1)+a=0从而问题转化为方程a=-2sin2x+sinx+1有解,只需a在函数y=-2sin2x+sinx+1的值域范围内
y=-2sin2x+sinx+1=-2(sinx-class="stub"1
4
)2+class="stub"9
8

sinx=class="stub"1
4
时,ymax=class="stub"9
8

当sinx=-1时,ymin=-2
∴实数a的取值范围为[-2,  class="stub"9
8
]
(12分)
解二:原方程可化为2sin2x-sinx+a-1=0
令sinx=t,则问题转化为方程2t2-t+a-1=0在[-1,1]内有一解或两解,
设g(t)=2t2-t+a-1,若方程在[-1,1]内有一个解,则g(-1)g(1)<0 或 
g(-1)=0
g(1)<0
或 
g(1)=0
g(-1)<0
解得-2≤a<0
若方程在[-1,1]内有两个解,则
△=(-1)2-8(a-1)≥0
-1≤class="stub"1
4
≤1
g(-1)≥0
g(1)≥0
解得0≤a≤class="stub"9
8

∴实数a的取值范围是[-2,class="stub"9
8
]

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