已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,向量m=(1,1-3sinA),n=(cosA,1),且m⊥n.(Ⅰ)求角A;(Ⅱ)若b+c=3a,求sin(B+π6)的值.-数学

题目简介

已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,向量m=(1,1-3sinA),n=(cosA,1),且m⊥n.(Ⅰ)求角A;(Ⅱ)若b+c=3a,求sin(B+π6)的值.-数学

题目详情

已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,向量m=(1,1-
3
sinA),n=(cosA,1),且m⊥n.
(Ⅰ)求角A;
(Ⅱ)若b+c=
3
a,求sin(B+
π
6
)的值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)由题意知,
m
n
,∴
m
n
=0,即cosA+1-
3
sinA=0.(2分)
3
sinA-cosA=1,即sin(A-class="stub"π
6
)=class="stub"1
2
.(5分)
∵0<A<π,∴-class="stub"π
6
<A-class="stub"π
6
class="stub"5π
6
,∴A-class="stub"π
6
=class="stub"π
6
,即A=class="stub"π
3
.(6分)
(2)∵b+c=
3
a,由正弦定理得,sinB+sinC=
3
sinA=class="stub"3
2
.(8分)
∵B+C=class="stub"2π
3
,∴sinB+sin(class="stub"2π
3
-B)=class="stub"3
2
.化简得class="stub"3
2
sinB+
3
2
cosB=class="stub"3
2

即sin(B+class="stub"π
6
)=
3
2
.(12分)

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