方程sinx+cosx=22在区间[0,4π]上的所有的解的和是______.-数学

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方程sinx+cosx=22在区间[0,4π]上的所有的解的和是______.-数学

题目详情

方程sinx+cosx=
2
2
在区间[0,4π]上的所有的解的和是______.
题型:填空题难度:中档来源:不详

答案

令y=sinx+cosx=
2
sin(x+class="stub"π
4
)

若sinx+cosx=
2
2
,则sin(x+class="stub"π
4
)=class="stub"1
2

得x+class="stub"π
4
=class="stub"π
6
+2kπ
或x+class="stub"π
4
=class="stub"5π
6
+2kπ
  (k为整数)
∴x+class="stub"π
4
=class="stub"π
6
+2kπ
或x+class="stub"π
4
=class="stub"5π
6
+2kπ
  (k为整数)
∴x=-class="stub"π
12
+2kπ
或x=class="stub"7π
12
+2kπ
  (k为整数)
取[0,4π]上的交集,得class="stub"7π
12
class="stub"23π
12
class="stub"31π
12
class="stub"47π
12
共四个值
它们的和为9π
故答案为:9π

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