已知函数f(x)=x+12-x,x∈[3,5].(1)判断函数f(x)在[3,5]上的单调性,并证明;(2)求函数f(x)=x+12-x,x∈[3,5]的最大值和最小值.-数学

题目简介

已知函数f(x)=x+12-x,x∈[3,5].(1)判断函数f(x)在[3,5]上的单调性,并证明;(2)求函数f(x)=x+12-x,x∈[3,5]的最大值和最小值.-数学

题目详情

已知函数f(x)=
x+1
2-x
,x∈[3,5]

(1)判断函数f(x)在[3,5]上的单调性,并证明;
(2)求函数f(x)=
x+1
2-x
,x∈[3,5]
的最大值和最小值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)f(x)在[3,5]上是单调增函数
证明:设x1,x2是区间[3,5]上的两个任意实数且x1<x2(2分)
f(x1)-f(x2)=
x1+1
2-x1
-
x2+1
2-x2
=
3(x1-x2)
(2-x1)(2-x2)
(5分)
∵3≤x1<x2≤5
∴x1-x2<02-x1>02-x2>0,
∴f(x1)<f(x2),
∴f(x)在[3,5]上是单调增函数(8分)

(2)∵f(x)在[3,5]上是单调增函数,所以x=3时,f(x)取最小值-4(10分)
x=5时f(x)取最大值-2(12分)

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