首页 > 已知函数f（x）=x2+ax+b-2ln（x+1）在x=0处取到极小值1．（Ⅰ）求实数a、b的值及函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若当x∈[-12，e-1]时，不等式f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范

已知函数f（x）=x2+ax+b-2ln（x+1）在x=0处取到极小值1．（Ⅰ）求实数a、b的值及函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若当x∈[-12，e-1]时，不等式f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范

题目简介

已知函数f（x）=x2+ax+b-2ln（x+1）在x=0处取到极小值1．（Ⅰ）求实数a、b的值及函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若当x∈[-12，e-1]时，不等式f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范

题目详情

已知函数f（x）=x²+ax+b-2ln（x+1）在x=0处取到极小值1．
（Ⅰ）求实数a、b的值及函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若当x∈[-

1

2

，e-1]时，不等式f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）x+1＞0得 f（x）的定义域为（-1，+∞）f′(x)=2x+a-class="stub"2

x+1

∵函数f（x）=x2+ax+b-2ln（x+1）在x=0处取到极小值1．
∴f（0）=1，f'（0）=0∴a=2，b=1…（5分）
∴f（x）=x2+2x+1-2ln（x+1）
f′(x)=2(1+x)-class="stub"2

1+x

=2[(1+x)-class="stub"1

1+x

]＞0⇒

x2+2x

1+x

＞0⇒x＞0
f′(x)=2(1+x)-class="stub"2

1+x

=2[(1+x)-class="stub"1

1+x

]＞0⇒

x2+2x

1+x

＜0⇒-1＜x＜0，
所以f（x）的单调增区间为（0，+∞）；单调减区间（-1，0）． …（10分）
（Ⅱ）当x∈[-class="stub"1

2

，e-1]时，不等式f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围．
令f′（x）=0⇒（1+x）2=1⇒x=0或x=-2（舍）f(-class="stub"1

2

)=class="stub"1

4

+2ln2，f（0）=1，f（e-1）=e2-2＞f(-class="stub"1

2

)
∴当x∈[-class="stub"1

2

，e-1]时，f（x）max=f（e-1）=e2-2
因此可得：不等式f（x）＜m恒成立时，m＞e2-2…（15分）

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