首页 > 已知f（x）=ln（x+1）-ax（a∈R）（1）当a=1时，求f（x）在定义域上的最大值；（2）已知y=f（x）在x∈[1，+∞）上恒有f（x）＜0，求a的取值范围；（3）求证：12+1+112+1

已知f（x）=ln（x+1）-ax（a∈R）（1）当a=1时，求f（x）在定义域上的最大值；（2）已知y=f（x）在x∈[1，+∞）上恒有f（x）＜0，求a的取值范围；（3）求证：12+1+112+1

题目简介

已知f（x）=ln（x+1）-ax（a∈R）（1）当a=1时，求f（x）在定义域上的最大值；（2）已知y=f（x）在x∈[1，+∞）上恒有f（x）＜0，求a的取值范围；（3）求证：12+1+112+1

题目详情

已知f（x）=ln（x+1）-ax（a∈R）
（1）当a=1时，求f（x）在定义域上的最大值；
（2）已知y=f（x）在x∈[1，+∞）上恒有f（x）＜0，求a的取值范围；
（3）求证：
12+1+1
12+1
•
22+2+1
22+2
•
32+3+1
32+3
•…•
n2+n+1
n2+n
＜e．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵f（x）=ln（x+1）-ax（a∈R），a=1，
∴f′(x)=class="stub"1
1+x
-1=class="stub"-x
1+x
，
由f′(x)=class="stub"-x
1+x
＞0，得-1＜x＜0；由f′(x)=class="stub"-x
1+x
＜0，得x＞0；
所以y=f（x）在（-1，0）为增，在（0，+∞）为减，
所以x=0时，f（x）取最大值0．
（2）y=f（x）在x∈[1，+∞）上恒有f（x）＜0，
等价于a＞
ln(x+1)
x
恒成立，
设g(x)=
ln(x+1)
x
⇒g′(x)=
class="stub"x
1+x
-ln(x+1)
x2
，
设h(x)=class="stub"x
1+x
-ln(x+1)⇒h′(x)=class="stub"1
(1+x)2
-class="stub"1
1+x
=class="stub"-x
(1+x)2
＜0(x≥1)，
所以h（x）是减函数，所以h(x)≤h(1)=class="stub"1
2
-ln2＜0(4＞e⇒2＞eclass="stub"1
2
)，
所以g（x）是减函数，gmax（x）=g（1），所以a＞ln2
（3）要证
12+1+1
12+1
•
22+2+1
22+2
•
32+3+1
32+3
•…•
n2+n+1
n2+n
＜e，
只需证ln
12+1+1
12+1
+ln
22+2+1
22+2
+…+ln
n2+n+1
n2+2
＜1
只需证ln(1+class="stub"1
12+1
)+ln(1+class="stub"1
22+2
)+…+ln(1+class="stub"1
n2+n
)＜1
因为ln(1+class="stub"1
n2+n
)＜class="stub"1
n2+n
=class="stub"1
n
-class="stub"1
n+1
，
所以ln(1+class="stub"1
12+1
)+ln(1+class="stub"1
22+2
)+…+ln(1+class="stub"1
n2+n
)＜1-class="stub"1
n+1
＜1．
故
12+1+1
12+1
•
22+2+1
22+2
•
32+3+1
32+3
•…•
n2+n+1
n2+n
＜e．

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