设函数f(x)=(x-a)2lnx,a∈R,e为自然对数的底数,e=2.7182…,如果对任意的x∈(0,3e],恒有f(x)≤4e2成立,求a的取值范围.-数学

题目简介

设函数f(x)=(x-a)2lnx,a∈R,e为自然对数的底数,e=2.7182…,如果对任意的x∈(0,3e],恒有f(x)≤4e2成立,求a的取值范围.-数学

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设函数f(x)=(x-a)2lnx,a∈R,e为自然对数的底数,e=2.7182…,如果对任意的x∈(0,3e],恒有f(x)≤4e2成立,求a的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

f'(x)=(x-a)(2ln x+1-class="stub"a
x
).
①当0<x≤1时,对于任意的实数a,恒有f(x)≤0<4e2成立
②当1<x≤3e时,由题意,首先有f(3e)=(3e-a)2ln3e≤4e2,解得3e-class="stub"2e
ln3e
≤a≤3e+class="stub"2e
ln3e

由(I)知f′(x)=2(x-a)lnx+
(x-a)2
x
=(x-a)(2lnx+1-class="stub"a
x
),
令h(x)=2lnx+1-class="stub"a
x
,则h(1)=1-a<0,h(a)=2lna>0且h(3e)=2ln3e+1-class="stub"a
3e
≥2ln3e+1-
3e+class="stub"2e
ln3e
3e
=2(ln3e-class="stub"1
3
ln3e
)>0
又h(x)在(0,+∞)内单调递增,所以函数h(x)在(0,+∞)内有唯一零点,记此零点为x0
则1<x0<3e,1<x0<a,从而,当x∈(0,x0)时,f′(x)>0,当x∈(x0,a)时,f′(x)<0,当x∈(a,+∞)时,f′(x)>0,即f(x)在(0,x0)内是增函数,在(x0,a)内是减函数,在(a,+∞)内是增函数
所以要使得对任意的x∈(0,3e],恒有f(x)≤4e2成立只要有
f(x0)=(x0-a)2lnx04e2
f(3e)=(3e-a)2ln3e≤4e2

有h(x0)=2lnx0+1-class="stub"a
x0
=0得a=2x0lnx0+x0,将它代入f(x0)=(x0-a)2lnx04e2得4x02ln2x0≤4e2
又x0>1,注意到函数4x2ln2x在(1,+∞)上是增函数故1<x0≤e
再由a=2x0lnx0+x0,及函数2xlnx+x在(1,+∞)上是增函数,可得1<a≤3e
由f(3e)=(3e-a)2ln3e≤4e2解得3e-class="stub"2e
ln3e
≤a≤3e+class="stub"2e
ln3e

所以得3e-class="stub"2e
ln3e
≤a≤3e

综上,a的取值范围为3e-class="stub"2e
ln3e
≤a≤3e

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