优课网
首页
数学
语文
英语
化学
物理
政治
历史
生物
首页
> 设函数f(x)=(x-a)2lnx,a∈R,e为自然对数的底数,e=2.7182…,如果对任意的x∈(0,3e],恒有f(x)≤4e2成立,求a的取值范围.-数学
设函数f(x)=(x-a)2lnx,a∈R,e为自然对数的底数,e=2.7182…,如果对任意的x∈(0,3e],恒有f(x)≤4e2成立,求a的取值范围.-数学
题目简介
设函数f(x)=(x-a)2lnx,a∈R,e为自然对数的底数,e=2.7182…,如果对任意的x∈(0,3e],恒有f(x)≤4e2成立,求a的取值范围.-数学
题目详情
设函数f(x)=(x-a)
2
lnx,a∈R,e为自然对数的底数,e=2.7182…,如果对任意的x∈(0,3e],恒有f(x)≤4e
2
成立,求a的取值范围.
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
f'(x)=(x-a)(2ln x+1-
class="stub"a
x
).
①当0<x≤1时,对于任意的实数a,恒有f(x)≤0<4e2成立
②当1<x≤3e时,由题意,首先有f(3e)=(3e-a)2ln3e≤4e2,解得
3e-
class="stub"2e
ln3e
≤a≤3e+
class="stub"2e
ln3e
由(I)知f′(x)=2(x-a)lnx+
(x-a)
2
x
=(x-a)(2lnx+1-
class="stub"a
x
),
令h(x)=2lnx+1-
class="stub"a
x
,则h(1)=1-a<0,h(a)=2lna>0且h(3e)=2ln3e+1-
class="stub"a
3e
≥2ln3e+1-
3e+
class="stub"2e
ln3e
3e
=2(ln3e-
class="stub"1
3
ln3e
)>0
又h(x)在(0,+∞)内单调递增,所以函数h(x)在(0,+∞)内有唯一零点,记此零点为x0
则1<x0<3e,1<x0<a,从而,当x∈(0,x0)时,f′(x)>0,当x∈(x0,a)时,f′(x)<0,当x∈(a,+∞)时,f′(x)>0,即f(x)在(0,x0)内是增函数,在(x0,a)内是减函数,在(a,+∞)内是增函数
所以要使得对任意的x∈(0,3e],恒有f(x)≤4e2成立只要有
f(
x
0
)=(
x
0
-a
)
2
ln
x
0
≤
4e
2
f(3e)=(3e-a
)
2
ln3e≤
4e
2
有h(x0)=2lnx0+1-
class="stub"a
x
0
=0得a=2x0lnx0+x0,将它代入
f(
x
0
)=(
x
0
-a
)
2
ln
x
0
≤
4e
2
得4x02ln2x0≤4e2
又x0>1,注意到函数4x2ln2x在(1,+∞)上是增函数故1<x0≤e
再由a=2x0lnx0+x0,及函数2xlnx+x在(1,+∞)上是增函数,可得1<a≤3e
由f(3e)=(3e-a)2ln3e≤4e2解得
3e-
class="stub"2e
ln3e
≤a≤3e+
class="stub"2e
ln3e
,
所以得
3e-
class="stub"2e
ln3e
≤a≤3e
综上,a的取值范围为
3e-
class="stub"2e
ln3e
≤a≤3e
.
上一篇 :
已知函数f(x2-3)=lgx2x2-6(1)求f(x)
下一篇 :
已知函数f(x)=ln2(1+x)+2ln(1+x)-2x.(I
搜索答案
更多内容推荐
设函数f(x)=-x(x-a)2(x∈R),其中a∈R.(1)、当f(x)奇函数时求a的值(2)、当a=1时,求曲线y=f(x)过点(0,f(0))的切线方程;(4分)(3)、当a≠0时,求函数f(x
三个函数①y=1x;②y=2-x;③y=-x3中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是______.(写出所有正确命题的序号)-数学
若f(x)=(3-a)x-4a,x≤1log5ax,x>1是R上的增函数,那么a的取值范围是()A.[35,3)B.[35,1)C.(15,3)D.(15,1)-数学
已知定义在R上的奇函数f(x)满足2x=a1-f(x)-1,则f(x)的值域是______.-数学
已知函数f(x)=x2ln|x|,(Ⅰ)判断函数f(x)的奇偶性;(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间.-数学
已知函数f(x)=ax3+bx2-c(其中a,b,c均为常数,x∈R).当x=1时,函数f(x)的极植为-3-c.(1)试确定a,b的值;(2)求f(x)的单调区间;(3)若对于任意x>0,不等式f(
设函数f(x)=x2-aln(2x+1)(x∈(-12,1),a>0)(1)若函数f(x)在其定义域内是减函数,求a的取值范围;(2)函数f(x)是否有最小值?若有最小值,指出其取得最小值时x的值,并
已知定义在实数集R上的偶函数f(x)在区间[0,+∞)上是单调增函数.(1)试写出满足上述条件的一个函数;(2)若f(1)<f(lgx),求x的取值范围.-数学
已知定义在R上的奇函数f(x),当x>0时f(x)=2x+x,则当x≤0时f(x)的表达式为______.-数学
市政府为招商引资,决定对外资企业第一年产品免税.某外资厂该年A型产品出厂价为每件60元,年销售量为11.8万件.第二年,当地政府开始对该商品征收税率为p%(0<p<100,即销售1-数学
若函数f(x)=12x+1,则该函数在(-∞,+∞)上是()A.单调递增无最大值B.单调递增有最大值C.单调递减无最小值D.单调递减有最小值-数学
已知偶函数y=f(x)(x∈R)在区间[-1,0]上单调递增,且满足f(1-x)+f(1+x)=0,给出下列判断:①f(5)=0;②f(x)在[1.2]上是减函数;③f(x)的图象关于直线x=1对称;
函数f(x)是定义在R上的奇函数,并且当x∈(0,+∞)时,f(x)=2x,那么,f(-1)=______.-数学
已知f(x)定义在R上以2为周期的偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x,若关于x的方程f(x)=kx+k+1(其中k常数)有4个不同的实数根,则k的取值范围是______.-数学
已知函数f(x)=ax+x4x+1是偶函数,则常数α的值为______.-数学
已知函数f(x)对任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2y(x+y)+1且f(1)=1.(1)若x∈N*,试求f(x)的解析式;(2)若x∈N*,且x≥2时,不等式f(x)≥(a+7
已知函数f(x)=2x+k•2-x,k∈R.(1)若函数f(x)为奇函数,求实数k的值;(2)若对任意的x∈[0,+∞)都有f(x)>2-x成立,求实数k的取值范围.-数学
函数y=x2+2x-3的单调减区间是______.-数学
下列函数中,在区间(-1,1)上是减函数的是()A.y=x-1B.y=x2C.y=2xD.y=(x+1)-1-数学
已知函数f(x)=2x+1+a2x-1(a∈R,且a≠0)(1)当a=-1时,判断f(x)在R上是增函数还是减函数,并说明理由;(2)判断f(x)奇偶性.-数学
已知函数f(x)=x2+4x,x≥04x-x2.x<0,若f(8-a2)>f(2a),则实数a的取值范围是______.-数学
设函数f(x)=2xx<0g(x)x>0.若f(x)是奇函数,则g(2)的值是()A.-14B.-4C.14D.4-数学
若f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数,且f(2)=0,则使得f(log2x)<0的x的取值范围是()A.(0,4)B.(4,+∞)C.(0,14)∪(4,+∞)D.(14,4)-数
求函数y=2x-1在区间[2,6]上的最大值和最小值.-数学
定义在R上奇函数f(x),f(x+2)=1-f(x)1+f(x),则f(2010)=()A.0B.1C.-1D.2-数学
函数f(x)的定义域为R,并满足条件:①对任意x∈R,有f(x)>0;②对任意x,y∈R,有f(x•y)=[f(x)]y;③f(13)>1.(1)求f(0)的值;(2)求证:f(x)在R上是单调递增函
已知函数f(x)=-x2+ax+1-lnx.(Ⅰ)当a=3时,求函数f(x)的单调递增区间;(Ⅱ)若f(x)在区间(0,12)上是减函数,求实数a的取值范围.-数学
设a∈R,函数f(x)=ex+aex是偶函数,若曲线y=f(x)的一条切线的斜率是32,则切点的横坐标为______.-数学
下列函数中,在区间(0,+∞)上是增函数的是()A.y=-x2B.y=x2-2C.y=(12)xD.y=log21x-数学
定义在(-1,1)的函数f(x),对于任意的x,y∈(-1,1),都有f(x+y1+xy)=f(x)+f(y),且x>0时,f(x)>0,f(12)=12(1)判断f(x)的奇偶性并证明(2)证明f(
设函数f(x)=x+sinxx.(Ⅰ)判断f(x)在区间(0,π)上的增减性并证明之;(Ⅱ)若不等式0≤a≤x-3+4-x对x∈[3,4]恒成立,求实数a的取值范围M;(Ⅲ)设0≤x≤π,且a∈M,求
下列函数中,在其定义域内既是增函数又是奇函数的是()A.y=x3+xB.y=-log2xC.y=3xD.y=1x-数学
设函数f(x)=x(ex+ae-x)(x∈R)是偶函数,则实数a=______.-数学
已知偶函数f(x)的图象与x轴有五个公共点,那么方程f(x)=0的所有实根之和为______.-数学
某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是P(亿元)和Q(亿元),它们与投资额t(亿元)的关系有经验公式P=163t,Q=18t.今该公司将5亿元投资这两个项目,其中对甲项目投资x-数学
(文)用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值,设f(x)=min{sinx,cosx},则f(x)的最大值等于______.-数学
定义在R上的单调函数f(x)满足对任意x,y均有f(x+y)=f(x)+f(y),且f(1)=1.(1)求f(0)的值,并判断f(x)的奇偶性;(2)解关于x的不等式:f(x-x2+2)+f(2x)+
已知函数f(x)=a-x2x+lnx(a∈R,x∈[12,2])(1)当a∈[-2,14)时,求f(x)的最大值;(2)设g(x)=[f(x)-lnx]•x2,k是g(x)图象上不同两点的连线的斜率,
已知函数f(x)=2x-m-12x+1是奇函数,且f(a2-2a)>f(3),则实数a的取值范围是______.-数学
已知函数f(x)=x|x-a|-2,当x∈[1,2]时,f(x)<0恒成立,则实数a的取值范围是______.-数学
已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,对任意的x∈R都有f(x+4)=f(x)+f(2)成立,若f(1)=2,则f(2013)=______.-数学
规定记号“△”表示一种运算,即a△b=a2+b2+a+3b,记f(x)=(sin2x)△(cos2x).若函数f(x)在x=x0处取到最大值,则f(x0)+f(2x0)+f(3x0)的值等于()A.6
设f(x)=2x,x<02x,x≥0,则f(log23)=______.-数学
对一切实数x,不等式x2+a|x|+1≥0恒成立,则实数a的取值范围是______.-数学
已知定义在(0,+∞)上的两个函数f(x)=x2-alnx,g(x)=x-ax,且f(x)在x=1处取得极值.(1)求a的值及函数g(x)的单调区间;(2)把g(x)对应的曲线向上平移6个单位后得曲线
已知函数f(x)=x2-x,x≤12log2x,x>1则{x|f(x)>2}=______.-数学
已知函数f(x)=1-x21+x2,则f(5)+f(4)+…+f(1)+f(12)+…+f(15)=______.-数学
判断下列函数的奇偶性①y=x3+1x;②y=2x-1+1-2x;③y=x4+x;④y=x2+2(x>0)0(x=0)-x2-2(x<0).-数学
已知函数f(x)=x2-2x-8,g(x)=2x2-4x-16,(1)求不等式g(x)<0的解集;(2)若对一切x>2,均有f(x)≥(m+2)x-m-15成立,求实数m的取值范围.-数学
已知函数f(x)=-x2+ax+b2-b+1(a∈R,b∈R),对任意实数x都有f(1-x)=f(1+x)成立,若当x∈[-1,1]时,f(x)>0恒成立,则b的取值范围是______.-数学
返回顶部
题目简介
设函数f(x)=(x-a)2lnx,a∈R,e为自然对数的底数,e=2.7182…,如果对任意的x∈(0,3e],恒有f(x)≤4e2成立,求a的取值范围.-数学
题目详情
答案
①当0<x≤1时,对于任意的实数a,恒有f(x)≤0<4e2成立
②当1<x≤3e时,由题意,首先有f(3e)=(3e-a)2ln3e≤4e2,解得3e-
由(I)知f′(x)=2(x-a)lnx+
令h(x)=2lnx+1-
又h(x)在(0,+∞)内单调递增,所以函数h(x)在(0,+∞)内有唯一零点,记此零点为x0
则1<x0<3e,1<x0<a,从而,当x∈(0,x0)时,f′(x)>0,当x∈(x0,a)时,f′(x)<0,当x∈(a,+∞)时,f′(x)>0,即f(x)在(0,x0)内是增函数,在(x0,a)内是减函数,在(a,+∞)内是增函数
所以要使得对任意的x∈(0,3e],恒有f(x)≤4e2成立只要有
有h(x0)=2lnx0+1-
又x0>1,注意到函数4x2ln2x在(1,+∞)上是增函数故1<x0≤e
再由a=2x0lnx0+x0,及函数2xlnx+x在(1,+∞)上是增函数,可得1<a≤3e
由f(3e)=(3e-a)2ln3e≤4e2解得3e-
所以得3e-
综上,a的取值范围为3e-