设函数f(x)=x2-aln(2x+1)(x∈(-12,1),a>0)(1)若函数f(x)在其定义域内是减函数,求a的取值范围;(2)函数f(x)是否有最小值?若有最小值,指出其取得最小值时x的值,并

题目简介

设函数f(x)=x2-aln(2x+1)(x∈(-12,1),a>0)(1)若函数f(x)在其定义域内是减函数,求a的取值范围;(2)函数f(x)是否有最小值?若有最小值,指出其取得最小值时x的值,并

题目详情

设函数f(x)=x2-aln(2x+1)(x∈(-
1
2
,1),a>0)

(1)若函数f(x)在其定义域内是减函数,求a的取值范围;
(2)函数f(x)是否有最小值?若有最小值,指出其取得最小值时x的值,并证明你的结论.
题型:解答题难度:中档来源:深圳二模

答案

(1)函数的导数f'(x)=2x-class="stub"2a
2x+1
=
2(2x2+x-a)
2x+1

∵函数f(x)在其定义域内是减函数
∴f'(x)≤0在x∈(-class="stub"1
2
,1)
上恒成立
又∵x∈(-class="stub"1
2
,1)
时,2x+1>0
∴不等式2x2+x-a≤0在x∈(-class="stub"1
2
,1)
上恒成立,即a≥2x2+x在x∈(-class="stub"1
2
,1)
上恒成立
令g(x)=2x2+x,x∈(-class="stub"1
2
,1)
,则g(x)max=g(1)=3∴a≥3
(2)∵f'(x)=
2(2x2+x-a)
2x+1
,令f'(x)=0
解得x1=
-1-
1+8a
4
x2=
-1+
1+8a
4

由于a>0,-class="stub"1
2
-x1=
1+8a
-1
4
>0
x2-(-class="stub"1
2
) =
1+8a
+1
4
>0

x1<-class="stub"1
2
x2

①当x2=
-1+
1+8a
4
<1
即0<a<3时,在(-class="stub"1
2
x2)
上f′(x)<0;在(x2,1)上f′(x)>0,
∴当x=
-1+
1+8a
4
时,函数f(x)在(-class="stub"1
2
,1)
上取最小值.
②当x2=
-1+
1+8a
4
即a≥3时,在[-class="stub"1
2
,1
]上f′(x)≤0,
∴当x=1时,函数f(x)在[-class="stub"1
2
,1
]上取最小值.
由①②可知,当0<a<3时,函数f(x)在x=
-1+
1+8a
4
时取最小值;
当a≥3时,函数f(x)在x=1时取最小值.(12分)

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