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定义在（-1，1）的函数f（x），对于任意的x，y∈（-1，1），都有f(x+y1+xy)=f(x)+f(y)，且x＞0时，f（x）＞0，f(12)=12（1）判断f（x）的奇偶性并证明（2）证明f（

题目简介

定义在（-1，1）的函数f（x），对于任意的x，y∈（-1，1），都有f(x+y1+xy)=f(x)+f(y)，且x＞0时，f（x）＞0，f(12)=12（1）判断f（x）的奇偶性并证明（2）证明f（

题目详情

定义在（-1，1）的函数f（x），对于任意的x，y∈（-1，1），都有f(
x+y
1+xy
)=f(x)+f(y)，且x＞0时，f（x）＞0，f(
1
2
)=
1
2

（1）判断f（x）的奇偶性并证明
（2）证明f（x）在区间（-1，1）上是增函数
（3）若f（x）＜m2-2am+1，对所有x∈[-
4
5
，
4
5
]，a∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）函数f（x）在区间（-1，1）上是奇函数．
证明：∵函数定义域为（-1，1），
令x=y=0得f（0）=0，
令y=-x，则有f（x）+f（-x）=0，得f（-x）=-f（x），
所以函数f（x）在区间（-1，1）上是奇函数．
（2）设-1＜x1＜x2＜1，
则f（x2）-f（x1）=f（x2）+f（-x1）=f（
x2-x1
1-x2x1
 ），而x2-x1＞0，|x1||x2|＜1
∴1-x1x2＞0
∴
x2-x1
1-x2x1
＞0，又x＞0时，f（x）＞0，
∴f（
x2-x1
1-x2x1
 ）＞0，即f（x2）＞f（x1），
∴f（x）在区间（-1，1）上是增函数；
（3）∵f（class="stub"1
2
）=class="stub"1
2
，f（class="stub"x+y
1+xy
）=f（x）+f（y），
∴令x=y=class="stub"1
2
得：f（
class="stub"1
2
+class="stub"1
2
1+class="stub"1
2
×class="stub"1
2
）=2f（class="stub"1
2
）=1，即f（class="stub"4
5
）=1．
因为函数f（x）在（-1，1）上是增函数，故在[-class="stub"4
5
，class="stub"4
5
]上是增函数，
又f（class="stub"4
5
）=1，
f（x）＜m2-2am+1，对所有x∈[-class="stub"4
5
，class="stub"4
5
]，a∈[-1，1]恒成立⇔1＜m2-2am+1，对所有x∈[-class="stub"4
5
，class="stub"4
5
]，a∈[-1，1]恒成立，
即m2-2am＞0，a∈[-1，1]恒成立．
记g（a）=m2-2am，对所有的a∈[-1，1]，g（a）＞0成立，
只需g（a）在[-1，1]上的最小值大于等于0．即g（-1）＞0；g（1）＞0．
解得：m＜-2或m=0，或m＞2．
故m的取值范围为m＜-2，或m=0，或m＞2．

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