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> 已知函数f(x)=ax3-2bx2+3cx(a,b,c∈R)的图象关于原点对称,且当x=1时,f(x)取极小值-23.(1)求a,b,c的值;(2)当x∈[-1,1]时,图象上是否存在两点,使得在这两
已知函数f(x)=ax3-2bx2+3cx(a,b,c∈R)的图象关于原点对称,且当x=1时,f(x)取极小值-23.(1)求a,b,c的值;(2)当x∈[-1,1]时,图象上是否存在两点,使得在这两
题目简介
已知函数f(x)=ax3-2bx2+3cx(a,b,c∈R)的图象关于原点对称,且当x=1时,f(x)取极小值-23.(1)求a,b,c的值;(2)当x∈[-1,1]时,图象上是否存在两点,使得在这两
题目详情
已知函数f(x)=ax
3
-2bx
2
+3cx(a,b,c∈R)的图象关于原点对称,且当x=1时,f(x)取极小值-
2
3
.
(1)求a,b,c的值;
(2)当x∈[-1,1]时,图象上是否存在两点,使得在这两点处的切线互相垂直?证明你的结论.
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
(1)由函数f(x)=ax3-2bx2+3cx(a,b,c∈R)的图象关于原点对称,可知函数f(x)为定义域上的奇函数,
所以b=0,则f(x)=ax3+3cx,f′(x)=3ax2+3c.
又当x=1时,f(x)取极小值-
class="stub"2
3
,
所以
3a+3c=0
a+3c=-
class="stub"2
3
,解得
a=
class="stub"1
3
,c=-
class="stub"1
3
.
所以a=
class="stub"1
3
,b=0,c=
-
class="stub"1
3
;
(2)由(1)得f(x)=
class="stub"1
3
x
3
-x
f′(x)=x2-1
设x1,x2∈[-1,1]
若存在两点x1,x2,使得在这两点处的切线互相垂直,则
f
′
(
x
1
)
f
′
(
x
2
)=-1
即
(
x
1
x
2
)
2
-(
x
1
2
+
x
2
2
)+2=0
.
因为x1,x2∈[-1,1],所以
(
x
1
x
2
)
2
-(
x
1
2
+
x
2
2
)+2>0
.
所以不存在两点的切线互相垂直.
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所以b=0,则f(x)=ax3+3cx,f′(x)=3ax2+3c.
又当x=1时,f(x)取极小值-
所以
所以a=
(2)由(1)得f(x)=
设x1,x2∈[-1,1]
若存在两点x1,x2,使得在这两点处的切线互相垂直,则f′(x1)f′(x2)=-1
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因为x1,x2∈[-1,1],所以(x1x2)2-(x12+x22)+2>0.
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