对于任意实数a(a≠0)和b及m∈[1,2],不等式|a+b|+|a-b|≥|a|•(m2-km+1)恒成立,则实数k的取值范围为______.-数学

题目简介

对于任意实数a(a≠0)和b及m∈[1,2],不等式|a+b|+|a-b|≥|a|•(m2-km+1)恒成立,则实数k的取值范围为______.-数学

题目详情

对于任意实数a(a≠0)和b及m∈[1,2],不等式|a+b|+|a-b|≥|a|•(m2-km+1)恒成立,则实数k的取值范围为______.
题型:填空题难度:中档来源:不详

答案

由|a+b|+|a-b|≥|a|•(m2-km+1),(a≠0)得:
|a+b|+|a-b|
|a|
≥m2-km+1,则
左边=
|a+b|+|a-b|
|a|
|a+b+a-b|
|a|
=2,设右边=g(m)=m2-km+1为对称轴为x=class="stub"k
2
的开口向上的抛物线,由m∈[1,2],
class="stub"k
2
≤1即k≤2时,得到g(2)=4-2k+1为g(m)的最大值,即4-2k+1≤2,解得k≥class="stub"3
2
,所以class="stub"3
2
≤k≤2;
class="stub"k
2
≥2即k≥4时,g(1)=1-k+1为函数的最大值,即2-k≤2,得到k≥0,所以4≤k;
当1≤class="stub"k
2
≤2即2≤k≤4时,g(1)或g(2)为函数的最大值,class="stub"3
2
≤k或k≥0,所以2≤k≤4.
综上,k的取值范围为[class="stub"3
2
,+∞)
故答案为[class="stub"3
2
,+∞)

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