对于定义域为D的函数y=f(x),若同时满足:①f(x)在D内单调递增或单调递减;②存在区间[a,b]⊆D,使f(x)在[a,b]上的值域为[a,b];那么把y=f(x)(x∈D)叫做闭函数.(Ⅰ)请

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对于定义域为D的函数y=f(x),若同时满足:①f(x)在D内单调递增或单调递减;②存在区间[a,b]⊆D,使f(x)在[a,b]上的值域为[a,b];那么把y=f(x)(x∈D)叫做闭函数.(Ⅰ)请

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对于定义域为D的函数y=f(x),若同时满足:①f(x)在D内单调递增或单调递减;②存在区间[a,b]⊆D,使f(x)在[a,b]上的值域为[a,b];那么把y=f(x)(x∈D)叫做闭函数.
(Ⅰ)请你举出一个闭函数的例子,并写出它的一个符合条件②的区间[a,b];
(Ⅱ)求闭函数y=-x3符合条件②的区间[a,b];
(Ⅲ)判断函数f(x)=
3
4
x+
1
x
  (x>0)
是否为闭函数?并说明理由.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(Ⅰ)如f(x)=x,[a,b]=[1,2].
(Ⅱ)由题意,y=-x3在[a,b]上递减,则
b=-a3
a=-b3
b>a

解得
a=-1
b=1

所以,所求的区间为[-1,1].
(Ⅲ)取x1=1,x2=10,则f(x1)=class="stub"7
4
<class="stub"76
10
=f(x2)

即f(x)不是(0,+∞)上的减函数.
x1=class="stub"1
10
x2=class="stub"1
100
f(x1)=class="stub"3
40
+10<class="stub"3
400
+100=f(x2)

即f(x)不是(0,+∞)上的增函数.
所以,函数在定义域内既不单调递增也不单调递减,从而该函数不是闭函数.

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