已知函数f(x)=aex,g(x)=lnx-lna,其中a为常数,且函数y=f(x)和y=g(x)的图象在其与两坐标轴的交点处的切线相互平行.(1)求实数a的值;(2)若关于x的不等式x-mg(x)>

题目简介

已知函数f(x)=aex,g(x)=lnx-lna,其中a为常数,且函数y=f(x)和y=g(x)的图象在其与两坐标轴的交点处的切线相互平行.(1)求实数a的值;(2)若关于x的不等式x-mg(x)>

题目详情

已知函数f(x)=aex,g(x)=lnx-lna,其中a为常数,且函数y=f(x)和y=g(x)的图象在其与两坐标轴的交点处的切线相互平行.
(1)求实数a的值;
(2)若关于x的不等式
x-m
g(x)
x
对任意不等于1的正实数都成立,求实数m的取值集合.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)f′(x)=aex,g′(x)=class="stub"1
x

y=f(x)的图象与坐标轴交于点(0,a);y=g(x)的图象与坐标轴交于点(a,0),
∴f′(0)=g′(a).
a=class="stub"1
a

∵a>0,∴a=1
∴g(x)=lnx.
(2)①当x>1时,由class="stub"x-m
lnx
x
m<x-
x
lnx
恒成立.
φ(x)=x-
x
lnx
,则φ′(x)=
2
x
-2-lnx
2
x

h(x)=2
x
-2-lnx
,则h′(x)=class="stub"1
x
(1-class="stub"1
x
)>0

∴h(x)在[1,+∞)上递增.
∴∀x>1,h(x)>h(1)=0.
∴φ′(x)>0.
∴φ(x)在[1,+∞)上递增.
∴m≤φ(1)=1.
②当0<x<1时,由class="stub"x-m
lnx
x
m>x-
x
lnx
即m>φ(x)恒成立.
同①可得φ(x)在(0,1]上递增.
∴m≥φ(1)=1.
综合①②得m=1.

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