已知f(x)=3ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数.(1)求a,b的值;(2)讨论g(x)=f(x)+2x的单调性.-数学

题目简介

已知f(x)=3ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数.(1)求a,b的值;(2)讨论g(x)=f(x)+2x的单调性.-数学

题目详情

已知f(x)=3ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数.
(1)求a,b的值;
(2)讨论g(x)=f(x)+
2
x
的单调性.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)因为f(x)=3ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数.
所以a-1+2a=0解得a=class="stub"1
3

此时函数f(x)=x2+bx.
因为f(x)=x2+bx是偶函数,所以f(-x)=f(x),
即f(-x)=x2-bx=x2+bx,所以-b=b,解得b=0.
(2)f(x)=x2,函数的定义域为[-class="stub"2
3
,class="stub"2
3
]
且x≠0.所以g(x)=f(x)+class="stub"2
x
=x2+class="stub"2
x

所以g′(x)=2x-class="stub"2
x2
=
2(x3-1)
x2
,由g′(x)=
2(x3-1)
x2
>0
,解得x>1,此时无解.
g′(x)=
2(x3-1)
x2
<0
,解得x<1,所以此时x∈[-class="stub"2
3
,0)∪(0.class="stub"2
3
]
,所以函数在[-class="stub"2
3
,0)
和(0,class="stub"2
3
]
上都为减函数.

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