已知函数f(x)=x2+ax-lnx,a∈R.(1)若函数f(x)在[1,2]上是减函数,求实数a的取值范围;(2)令g(x)=f(x)-x2,是否存在实数a,当x∈(0,e](e是自然常数)时,函数

题目简介

已知函数f(x)=x2+ax-lnx,a∈R.(1)若函数f(x)在[1,2]上是减函数,求实数a的取值范围;(2)令g(x)=f(x)-x2,是否存在实数a,当x∈(0,e](e是自然常数)时,函数

题目详情

已知函数f(x)=x2+ax-lnx,a∈R.
(1)若函数f(x)在[1,2]上是减函数,求实数a的取值范围;
(2)令g(x)=f(x)-x2,是否存在实数a,当x∈(0,e](e是自然常数)时,函数g(x)的最小值是3,若存 在,求出a的值;若不存在,说明理由.
题型:解答题难度:中档来源:新余二模

答案

(1)f(x)=2x+a-class="stub"1
x
=
2x2+ax-1
x
≤0
在[1,2]上恒成立,
令h(x)=2x2+ax-1,
h(1)≤0
h(2)≤0

a≤-1
a≤-class="stub"7
2

a≤-class="stub"7
2
(6分)
(2)假设存在实数a,使g(x)=ax-lnx(x∈(0,e])有最小值3,g(x)=a-class="stub"1
x
=class="stub"ax-1
x
(7分)
当a≤0时,g(x)在(0,e]上单调递减,g(x)min=g(e)=ae-1=3,a=class="stub"4
e
(舍去),
∴g(x)无最小值.
0<class="stub"1
a
<e
时,g(x)在(0,class="stub"1
a
)
上单调递减,在(class="stub"1
a
,e]
上单调递增
g(x)min=g(class="stub"1
a
)=1+lna=3
,a=e2,满足条件.(11分)
class="stub"1
a
≥e
时,g(x)在(0,e]上单调递减,g(x)min=g(e)=ae-1=3,a=class="stub"4
e
(舍去),
∴f(x)无最小值.(13分)
综上,存在实数a=e2,使得当x∈(0,e]时f(x)有最小值3.(14分)

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