已知函数y=f(x)的图象关于点(-1,0)对称,且满足f(x)=-f(x-1).当x∈(-2,-1)时,f(x)=1x+2,则当x∈(1,2)时,f(x)=______.-数学

题目简介

已知函数y=f(x)的图象关于点(-1,0)对称,且满足f(x)=-f(x-1).当x∈(-2,-1)时,f(x)=1x+2,则当x∈(1,2)时,f(x)=______.-数学

题目详情

已知函数y=f(x)的图象关于点(-1,0)对称,且满足f(x)=-f(x-1).当x∈(-2,-1)时,f(x)=
1
x+2
,则当x∈(1,2)时,f(x)=______.
题型:填空题难度:偏易来源:不详

答案

∵f(x)=-f(x-1),
∴以x+1代替x,得f(x+1)=-f(x)
再结合f(x)=-f(x-1),可得f(x+1)=-[-f(x-1)]=f(x-1)
即f[(x-1)+2]=f(x-1),由此可得f(x+2)=f(x),函数是周期为2的周期函数
∵函数y=f(x)的图象关于点(-1,0)对称,
∴f(-2-x)+f(x)=0,可得f(x)=-f(-2-x)
设-1<x<0,得-2<-2-x<-1,则f(-2-x)=class="stub"1
(-2-x)+2
=-class="stub"1
x
,所以f(x)=-f(-2-x)=class="stub"1
x

再设x∈(1,2),则-1<x-2<0,f(x-2)=class="stub"1
x-2

最后,根据f(x)是周期为2的周期函数,可得f(x)=f(x-2)=class="stub"1
x-2

∴当x∈(1,2)时,f(x)=class="stub"1
x-2

故答案为:class="stub"1
x-2

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