已知函数f（x）满足下列条件：（1）函数f（x）定义域为[0，1]；（2）对于任意x∈[0，1]，f（x）≥0，且f（0）=0，f（1）=1；（3）对于满足条件x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1的任意

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已知函数f（x）满足下列条件：（1）函数f（x）定义域为[0，1]；（2）对于任意x∈[0，1]，f（x）≥0，且f（0）=0，f（1）=1；（3）对于满足条件x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1的任意两个数x₁，x₂，有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）．
（Ⅰ）证明：对于任意的0≤x≤y≤1，有f（x）≤f（y）；
（Ⅱ）证明：对于任意的0≤x≤1，有f（x）≤2x；
（Ⅲ）不等式f（x）≤1.9x对于一切x∈[0，1]都成立吗？

题型：解答题难度：中档来源：东城区二模

答案

（Ⅰ）证明：对于任意的0≤x≤y≤1，
则0≤y-x≤1，∴f（y-x）≥0．
∴f（y）=f（y-x+x）≥f（y-x）+f（x）≥f（x）．
∴对于任意的0≤x≤y≤1，有f（x）≤f（y）．（5分）
（Ⅱ）由已知条件可得f（2x）≥f（x）+f（x）=2f（x），
∴当x=0时，f（0）=0≤2×0，
∴当x=0时，f（x）≤2x．
假设存在x0∈（0，1]，使得f（x0）＞2x0，
则x0一定在某个区间x0∈(class="stub"1

，class="stub"1

2k-1

]上．
设x0∈(class="stub"1

，class="stub"1

2k-1

]，
则f（2x0）＞4x0，f（4x0）＞8x0，┅，f（2k-1x0）＞2kx0．
由x0∈(class="stub"1

，class="stub"1

2k-1

]；
可知class="stub"1

＜2k-1x0≤1，且2kx0＞1，
∴f（2k-1x0）≤f（1）=1，
又f（2k-1x0）＞2kx0＞1．
从而得到矛盾，因此不存在x0∈（0，1]，使得f（x0）＞2x0．
∴对于任意的0≤x≤1，有f（x）≤2x．（10分）
（Ⅲ）取函数f(x)=

0，0≤x≤class="stub"1

1，class="stub"1

＜x≤1.

则f（x）显然满足题目中的（1），（2）两个条件．
任意取两个数x1，x2，使得x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，
若x1， x2∈[0，class="stub"1

]，
则f（x1+x2）≥0=f（x1）+f（x2）．
若x1，x2分别属于区间[0，class="stub"1

]和(class="stub"1

，1]中一个，
则f（x1+x2）=1=f（x1）+f（x2），
而x1，x2不可能都属于(class="stub"1

，1]．
综上可知，f（x）满足题目中的三个条件．
而f（0.51）=1＞1.9×0.51=0.969．
即不等式f（x）≤1.9x并不对所有x∈[0，1]都成立．（14分）

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已知函数f（x）满足下列条件：（1）函数f（x）定义域为[0，1]；（2）对于任意x∈[0，1]，f（x）≥0，且f（0）=0，f（1）=1；（3）对于满足条件x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1的任意

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