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当0≤x≤1时,不等式sinπx2≥kx成立,则实数k的取值范围是______.-数学
题目简介
当0≤x≤1时,不等式sinπx2≥kx成立,则实数k的取值范围是______.-数学
题目详情
当0≤x≤1时,不等式
sin
πx
2
≥kx
成立,则实数k的取值范围是______.
题型:填空题
难度:中档
来源:不详
答案
由题意知:
∵当0≤x≤1时
sin
class="stub"πx
2
≥kx
(1)当x=0时,不等式
sin
class="stub"πx
2
≥kx
恒成立 k∈R
(2)当0<x≤1时,不等式
sin
class="stub"πx
2
≥kx
可化为
k≤
sin
class="stub"πx
2
x
要使不等式
k≤
sin
class="stub"πx
2
x
恒成立,则k≤
(
sin
class="stub"πx
2
x
)min
成立
令f(x)=
sin
class="stub"πx
2
x
x∈(0,1]
即f'(x)=
class="stub"π
2
xcos
class="stub"πx
2
-sin
class="stub"πx
2
x
2
再令g(x)=
class="stub"π
2
xcos
class="stub"πx
2
-sin
class="stub"πx
2
g'(x)=-
π
2
4
xsin
class="stub"πx
2
∵当0<x≤1时,g'(x)<0
∴g(x)为单调递减函数
∴g(x)<g(0)=0
∴f'(x)<0
即函数f(x)为单调递减函数
所以 f(x)min=f(1)=1 即k≤1
综上所述,由(1)(2)得 k≤1
故此题答案为 k∈(-∞,1].
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当0≤x≤1时,不等式sinπx2≥kx成立,则实数k的取值范围是______.-数学
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答案
∵当0≤x≤1时 sin
(1)当x=0时,不等式sin
(2)当0<x≤1时,不等式sin
k≤
要使不等式k≤
令f(x)=
即f'(x)=
g'(x)=-
∵当0<x≤1时,g'(x)<0
∴g(x)为单调递减函数
∴g(x)<g(0)=0
∴f'(x)<0
即函数f(x)为单调递减函数
所以 f(x)min=f(1)=1 即k≤1
综上所述,由(1)(2)得 k≤1
故此题答案为 k∈(-∞,1].