例2:已知f(x)=ax2+bx+c的图象过点(-1,0),是否存在常数a、b、c,使不等式x≤f(x)≤x2+12对一切实数x都成立?-数学

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例2:已知f(x)=ax2+bx+c的图象过点(-1,0),是否存在常数a、b、c,使不等式x≤f(x)≤x2+12对一切实数x都成立?-数学

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例2:已知f(x)=ax2+bx+c的图象过点(-1,0),是否存在常数a、b、c,使不等式x≤f(x)≤
x2+1
2
对一切实数x都成立?
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

∵f(x)的图象过点(-1,0),∴a-b+c=0①
∵x≤f(x)≤
x2+1
2
对一切x∈R均成立,
∴当x=1时也成立,即1≤a+b+c≤1.
故有a+b+c=1.②
由①②得b=class="stub"1
2
,c=class="stub"1
2
-a.
∴f(x)=ax2+class="stub"1
2
x+class="stub"1
2
-a.
故x≤ax2+class="stub"1
2
x+class="stub"1
2
-a≤
x2+1
2
对一切x∈R成立,
也即
ax2-class="stub"1
2
x+class="stub"1
2
-a≥0
(1-2a)x2-x+2a≥0
恒成立
1≤0
2≤0
a>0
1-2a>0
class="stub"1
4
-4a(class="stub"1
2
-a)≤0
1-8a(1-2a)≤0
a>0
1-2a>0.

解得a=class="stub"1
4
.∴c=class="stub"1
2
-a=class="stub"1
4

∴存在一组常数a=class="stub"1
4
,b=class="stub"1
2
,c=class="stub"1
4
,使不等式x≤f(x)≤
x2+1
2
对一切实数x均成立.

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