已知函数f(x)=x2-(a+2)x+alnx(a∈R).(I)求函数f(x)的单调区间;(II)若a=4,y=f(x)的图象与直线y=m有三个交点,求m的取值范围(其中自然对数的底数e为无理数且e=

题目简介

已知函数f(x)=x2-(a+2)x+alnx(a∈R).(I)求函数f(x)的单调区间;(II)若a=4,y=f(x)的图象与直线y=m有三个交点,求m的取值范围(其中自然对数的底数e为无理数且e=

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已知函数f(x)=x2-(a+2)x+alnx(a∈R).
(I)求函数f(x)的单调区间;
(II)若a=4,y=f(x)的图象与直线y=m有三个交点,求m的取值范围(其中自然对数的底数e为无理数且e=2.271828…)
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(I)函数f(x)=x2-(a+2)x+alnx的定义域是(0,+∞).f′(x)=2x-(a+2)+class="stub"a
x
=
2x2-(a+2)x+a
x
=
2(x-class="stub"a
2
)(x-1)
x

①当a≤0时,f'(x)≤0在(0,1]上恒成立,f'(x)≥0在[1,+∞)上恒成立,∴a≤0时,f(x)的增区间为[1,+∞),
f(x)的减区间为(0,1]
②当0<a<2时,f′(x)≥0在(0,class="stub"a
2
]∪[1,+∞)
上恒成立,f′(x)≤0在[class="stub"a
2
,1]上恒成立

0<a<2时f(x)的增区间为(0,class="stub"a
2
],[1,+∞),f(x)的减区间为[class="stub"a
2
,1]

③当a=2时,f'(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,∴a=2时,f(x)的增区间为(0,+∞).
④当a>2时,f′(x)≥0在(0,1]和[class="stub"a
2
,+∞)
上恒成立,f′(x)≤0在[1,class="stub"a
2
]上恒成立
,∴a>2时,f(x)的增区间为(0,1]和[class="stub"a
2
,+∞)
f(x)的减区间为[1,class="stub"a
2
]

(II)若a=4,由(I)可得f(x)在(0,1]上单调增,在[1,2]上单调减,在[2,+∞)上单调增.
∴f(x)极小值=f(2)=4ln2-8,f(x)极大值=f(1)=-5
∴y=f(x)的图象与直线y=m有三个交点时m的取值范围是(4ln2-8,-5).

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