已知函数f(x)=log25+ax5+x,(-1≤x≤1)为奇函数,其中a为不等于1的常数;(1)求a的值;(2)若对任意的x∈[-1,1],f(x)>m恒成立,求m的范围.-数学

题目简介

已知函数f(x)=log25+ax5+x,(-1≤x≤1)为奇函数,其中a为不等于1的常数;(1)求a的值;(2)若对任意的x∈[-1,1],f(x)>m恒成立,求m的范围.-数学

题目详情

已知函数f(x)=log2
5+ax
5+x
,(-1≤x≤1)
为奇函数,其中a为不等于1的常数;
(1)求a的值;
(2)若对任意的x∈[-1,1],f(x)>m恒成立,求m的范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)∵f(x)=log2class="stub"5+ax
5+x
,(-1≤x≤1)
为奇函数
∴f(-x)=-f(x),即log2class="stub"5-ax
5-x
=-log2class="stub"5+ax
5+x

class="stub"5-ax
5-x
=class="stub"5+x
5+ax
对x∈[-1,1]恒成立;
所以(5+ax)(5-ax)=(5+x)(5-x)
∴a=±1,
因为a为不等于1的常数,所以a=-1
(2)∵f(x)=log2class="stub"5-x
5+x
,(-1≤x≤1)

t=class="stub"5-x
5+x
,(-1≤x≤1)
,则f(t)=log2t,
因为t=class="stub"5-x
5+x
=-1+class="stub"10
x+5
在[-1,1]上递减所以class="stub"2
3
≤t≤class="stub"3
2

又因为f(t)=log2t,在[class="stub"2
3
,class="stub"3
2
]
上是增函数,
所以f(t)min=log2class="stub"2
3

因为对任意的x∈[-1,1],f(x)>m恒成立,所以f(x)min>m
所以m<log2class="stub"2
3

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