已知f(x)=aa2-1(ax-a-x),(a>0且a≠1)(1)判断f(x)的奇偶性.(2)讨论f(x)的单调性.(3)当x∈[-1,1]时,f(x)≥b恒成立,求b的取值范围.-数学

题目简介

已知f(x)=aa2-1(ax-a-x),(a>0且a≠1)(1)判断f(x)的奇偶性.(2)讨论f(x)的单调性.(3)当x∈[-1,1]时,f(x)≥b恒成立,求b的取值范围.-数学

题目详情

已知f(x)=
a
a2-1
(ax-a-x)
,(a>0且a≠1)
(1)判断f(x)的奇偶性.
(2)讨论f(x)的单调性.
(3)当x∈[-1,1]时,f(x)≥b恒成立,求b的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)∵f(x)=class="stub"a
a2-1
(ax-a-x)

所以f(x)定义域为R,
又f(-x)=class="stub"1
a2-1
(a-x-ax)=-class="stub"1
a2-1
(ax-a-x)=-f(x),
所以函数f(x)为奇函数,
(2)任取x1<x2
则f(x2)-f(x1)=class="stub"1
a2-1
(ax2-ax1)(1+a-(x1+x2))
∵x1<x2,且a>0且a≠1,1+a-(x1+x2)>0
①当a>1时,a2-1>0,ax2-ax1>0,则有f(x2)-f(x1)>0,
②当0<a<1时,a2-1<0.,ax2-ax1<0,则有f(x2)-f(x1)>0,
所以f(x)为增函数;
(3)当x∈[-1,1]时,f(x)≥b恒成立,
即b小于等于f(x)的最小值,
由(2)知当x=-1时,f(x)取得最小值,最小值为class="stub"1
a2-1
class="stub"1
a
-a
)=-class="stub"1
a

∴b≤-class="stub"1
a

求b的取值范围(-∞,-class="stub"1
a
].

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