首页 > 函数f(x)=x+ax．（1）判断并证明函数的奇偶性；（2）若a=2，证明函数在（2，+∞）单调增；（3）对任意的x∈（1，2），f（x）＞3恒成立，求a的范围．-数学

函数f(x)=x+ax．（1）判断并证明函数的奇偶性；（2）若a=2，证明函数在（2，+∞）单调增；（3）对任意的x∈（1，2），f（x）＞3恒成立，求a的范围．-数学

题目简介

函数f(x)=x+ax．（1）判断并证明函数的奇偶性；（2）若a=2，证明函数在（2，+∞）单调增；（3）对任意的x∈（1，2），f（x）＞3恒成立，求a的范围．-数学

题目详情

函数f(x)=x+
a
x
．
（1）判断并证明函数的奇偶性；
（2）若a=2，证明函数在（2，+∞）单调增；
（3）对任意的x∈（1，2），f（x）＞3恒成立，求a的范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）f（x）是奇函数，证明如下：
由题意可得，函数的定义域{x|x≠0}关于原点对称
∵f（-x）=-x-class="stub"a
x
=-f（x）
∴f（x）是奇函数；
（2）证明；当a=2时，f（x）=x+class="stub"2
x
，∴f′(x)=1-class="stub"2
x2

当x＞2时，f′(x)=1-class="stub"2
x2
＞0恒成立
∴函数在（2，+∞）单调增；
（3）当a≤0时，f(x)=x+class="stub"a
x
在x∈（1，2）单调递增
∴1+a＜f(x)＜2+class="stub"a
2

∴1+a≥3
∴a≥2（舍）
当a＞0时，f(x)=x+class="stub"a
x
在（0，
a
]单调递减，在[
a
，+∞）单调递增
∴2
a
＞3
∴a＞class="stub"9
4

∴a的范围是(class="stub"9
4
，+∞)．

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