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已知函数f（x）=2x+1（x∈R）．（1）若f（x）可以表示为一个偶函数g（x）与一个奇函数h（x）之和，设h（x）=t，p（t）=g（2x）-2h（x），求p（t）的解析式；（2）若p（t）≥m2

题目简介

已知函数f（x）=2x+1（x∈R）．（1）若f（x）可以表示为一个偶函数g（x）与一个奇函数h（x）之和，设h（x）=t，p（t）=g（2x）-2h（x），求p（t）的解析式；（2）若p（t）≥m2

题目详情

已知函数f（x）=2x+1（x∈R）．
（1）若f（x）可以表示为一个偶函数g（x）与一个奇函数h（x）之和，设h（x）=t，p（t）=g（2x）-2h（x），求p（t）的解析式；
（2）若p（t）≥m2-2m对于x∈[1，2]恒成立，求m的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）假设f（x）=g（x）+h（x）①，其中g（x）偶函数，h（x）为奇函数，
则有f（-x）=g（-x）+h（-x），即f（-x）=g（x）-h（x）②，
由①②解得g（x）=class="stub"1
2
[f（x）+f（-x）]，h（x）=class="stub"1
2
[f（x）-f（-x）]，
∵f（x）定义在R上，∴g（x），h（x）都定义在R上．
∵g（-x）=class="stub"1
2
[f（-x）+f（x）]=g（x），h（-x）=12[f（-x）-f（x）]=-h（x）．
∴g（x）是偶函数，h（x）是奇函数，
∵f（x）=2x+1，
∴g（x）=class="stub"1
2
[f（x）+f（-x）]=class="stub"1
2
（2x+1+2-x+1）=2x+2-x，
h（x）=class="stub"1
2
[f（x）-f（-x）]=class="stub"1
2
（2x+1-2-x+1）=2x-2-x．
由2x-2-x=t，则t∈R，
平方得t2=（2x-2-x）2=22x-2-2x-2，
∴g（2x）=22x+2-2x=t2+2，
∴p（t）=t2-2t+2．
（2）∵t=h（x）关于x∈[1，2]单调递增，
∴class="stub"3
2
≤t≤class="stub"15
4
．
∴p（t）=t2-2t+2≥m2-2m对于t∈[class="stub"3
2
，class="stub"15
4
]恒成立，
∴m2-2m≤（t-1）2+1对于t∈[class="stub"3
2
，class="stub"15
4
]成立，
令φ（t）=（t-1）2+1，则∵t∈[class="stub"3
2
，class="stub"15
4
]，故φ（t）单调递增，
φ（t）min=φ（class="stub"3
2
）=class="stub"5
4

∴m2-2m≤class="stub"5
4

解得-class="stub"1
2
≤m≤class="stub"5
2

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