已知函数f(x)=log2(2x+1)(1)求证:函数f(x)在(-∞,+∞)内单调递增;(2)记f-1(x)为函数f(x)的反函数,关于x的方程f-1(x)=m+f(x)在[1,2]上有解,求m的取

题目简介

已知函数f(x)=log2(2x+1)(1)求证:函数f(x)在(-∞,+∞)内单调递增;(2)记f-1(x)为函数f(x)的反函数,关于x的方程f-1(x)=m+f(x)在[1,2]上有解,求m的取

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已知函数f(x)=log2(2x+1)
(1)求证:函数f(x)在(-∞,+∞)内单调递增;
(2)记f-1(x)为函数f(x)的反函数,关于x的方程f-1(x)=m+f(x)在[1,2]上有解,求m的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:上海

答案

(1)任取x1<x2,则f(x1)-f(x2)=log2(2x1+1)-log2(2x2+1)=log2
2x1+1
2x2+1

∵x1<x2,∴0<2x1+1<2x2+1,
0<
2x1+1
2x2+1
<1,log2
2x1+1
2x2+1
<0

∴f(x1)<f(x2),
即函数f(x)在(-∞,+∞)内单调递增

(2)∵f-1(x)=log2(2x-1)(x>0),
∴m=f-1(x)-f(x)=log2(2x-1)-log2(2x+1)=log2
2x-1
2x+1
=log2(1-class="stub"2
2x+1
)

当1≤x≤2时,class="stub"2
5
≤class="stub"2
2x+1
≤class="stub"2
3

class="stub"1
3
≤1-class="stub"2
2x+1
≤class="stub"3
5

∴m的取值范围是[log2(class="stub"1
3
),log2(class="stub"3
5
)]

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