已知函数f(x)=loga(x+1)(a>1),若函数y=g(x)的图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数f(x)的图象.(1)写出函数g(x)的解析式;(2)当x∈[0,1)时,总有f(

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已知函数f(x)=loga(x+1)(a>1),若函数y=g(x)的图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数f(x)的图象.(1)写出函数g(x)的解析式;(2)当x∈[0,1)时,总有f(

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已知函数f(x)=loga(x+1)(a>1),若函数y=g(x)的图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数f(x)的图象.
(1)写出函数g(x)的解析式;
(2)当x∈[0,1)时,总有f(x)+g(x)≥m成立,求m的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)设点P(x,y)是g(x)的图象上的任意一点,则Q(-x,-y)在函数f(x)的图象上,
即-y=loga(-x+1),则y= -loga(1-x)=logaclass="stub"1
1-x

g(x)=logaclass="stub"1
1-x

(2)f(x)+g(x)≥m  即loga(1+x)+logaclass="stub"1
1-x
≥m

也就是logaclass="stub"1+x
1-x
≥m
在[0,1)上恒成立.
h(x)=logclass="stub"1+x
1-x
,x∈[0,1)

h(x)=loga(-class="stub"x+1
x-1
) =loga(-class="stub"x-1+2
x-1
) =loga(-1-class="stub"2
x-1
)

由函数的单调性易知,h(x)在[0,1)上递增,若使f(x)+g(x)≥m在[0,1)上恒成立,
只需h(x)min≥m在[0,1)上成立,即m≤0.
m的取值范围是(-∞,0]

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