首页 > 设A（x1，y1）、B（x2，y2）是函数f(x)=32-22x+2图象上任意两点，且x1+x2=1．（Ⅰ）求y1+y2的值；（Ⅱ）若Tn=f(0)+f(1n)+f(2n)+…+f(nn)（其中n∈N

设A（x1，y1）、B（x2，y2）是函数f(x)=32-22x+2图象上任意两点，且x1+x2=1．（Ⅰ）求y1+y2的值；（Ⅱ）若Tn=f(0)+f(1n)+f(2n)+…+f(nn)（其中n∈N

题目简介

设A（x1，y1）、B（x2，y2）是函数f(x)=32-22x+2图象上任意两点，且x1+x2=1．（Ⅰ）求y1+y2的值；（Ⅱ）若Tn=f(0)+f(1n)+f(2n)+…+f(nn)（其中n∈N

题目详情

设A（x1，y1）、B（x2，y2）是函数f(x)=
3
2
-
2
2x+
2
图象上任意两点，且x1+x2=1．
（Ⅰ）求y1+y2的值；
（Ⅱ）若Tn=f(0)+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n
n
)（其中n∈N*），求Tn；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设an=
2
Tn
（n∈N*），若不等式an+an+1+an+2+…+a2n-1＞loga（1-2a）对任意的正整数n恒成立，求实数a的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：资阳一模

答案

（Ⅰ）∵A（x1，y1）、B（x2，y2）是函数f(x)=class="stub"3
2
-
2
2x+
2
图象上任意两点，且x1+x2=1．
y1+y2=class="stub"3
2
-
2
2x1+
2
+class="stub"3
2
-
2
2x2+
2

=3-(
2
2x1+
2
+
2
2x2+
2
)=3-
4+
2
(2x1+2x2)
2x1+x2+
2
(2x1+2x2)+2
=3-
4+
2
(2x1+2x2)
2+
2
(2x1+2x2)+2
=2．（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当x1+x2=1时，y1+y2=2，
由Tn=f(0)+f(class="stub"1
n
)+f(class="stub"2
n
)+…+f(class="stub"n
n
)得，Tn=f(class="stub"n
n
)+…+f(class="stub"2
n
)+f(class="stub"1
n
)+f(0)，
∴2Tn=[f(0)+f(class="stub"n
n
)]+[f(class="stub"1
n
)+f(class="stub"n-1
n
)]+…+[f(class="stub"n
n
)+f(0)]=2(n+1)，
∴Tn=n+1．（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）得，an=class="stub"2
Tn
=class="stub"2
n+1
，不等式an+an+1+an+2+…+a2n-1＞loga（1-2a）即为class="stub"2
n+1
+class="stub"2
n+2
+…+class="stub"2
2n
＞loga(1-2a)，
设Hn=class="stub"2
n+1
+class="stub"2
n+2
+…+class="stub"2
2n
，
则 Hn+1=class="stub"2
n+2
+class="stub"2
n+3
+…+class="stub"2
2n
+class="stub"2
2n+1
+class="stub"2
2n+2
，
∴Hn+1-Hn=class="stub"2
2n+1
+class="stub"2
2(n+1)
-class="stub"2
n+1
=class="stub"2
2n+1
-class="stub"2
2n+2
＞0，
∴数列{Hn}是单调递增数列，
∴（Hn）min=T1=1，（10分）
要使不等式恒成立，只需loga（1-2a）＜1，
即loga（1-2a）＜logaa，
∴
0＜a＜1
1-2a＞0
1-2a＞a
或
a＞1
1-2a＞0
1-2a＜a

解得0＜a＜class="stub"1
3
．
故使不等式对于任意正整数n恒成立的a的取值范围是(0，class="stub"1
3
)．（12分）

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