已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)满足:①f(0)=0;②∀x∈R,f(x)≥x;③f(-12+x)=f(-12-x).(1)求f(x)的表达式;(2)试讨论函数g(x)=f(x)-2x在区

题目简介

已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)满足:①f(0)=0;②∀x∈R,f(x)≥x;③f(-12+x)=f(-12-x).(1)求f(x)的表达式;(2)试讨论函数g(x)=f(x)-2x在区

题目详情

已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)满足:①f(0)=0;②∀x∈R,f(x)≥x;③f(-
1
2
+x
)=f(-
1
2
-x
).
(1)求f(x)的表达式;
(2)试讨论函数g(x)=f(x)-2x在区间[-2,2]内的单调性;
(3)是否存在实数t,使得函数h(x)=f(x)-x2-x+t与函数u(x)=|log2x|(x∈(0,2])的图象恒有两个不同交点,如果存在,求出相应t的取值范围;如果不存在,说明理由.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)由条件①得f(0)=c=0,
由③f(-class="stub"1
2
+x)=f(-class="stub"1
2
-x)知f(x)的对称轴x=-class="stub"b
2a
=-class="stub"1
2
,即a=b,
由②∀x∈R,f(x)≥x,即ax2+(a-1)x≥0,对∀x∈R恒成立,
a>0
△=(a-1)2≤0

又(a-1)2≥0,∴a=b=1,
∴f(x)=x2+x.
(2)g(x)=f(x)-2x=x2-x,其图象为开口向上的抛物线且对称轴为x=class="stub"1
2

所以g(x)在区间[-2,class="stub"1
2
]上单调递减,在区间[class="stub"1
2
,2]上单调递增;.    
(3)存在实数t,使两函数图象恒有两个交点,理由如下:
h(x)=f(x)-x2-x+t=t,
又函数u(x)=|log2x|(x∈(0,2])在(0,1)上单调递减,在(1,2)上单调递增,又u(1)=0,u(2)=1,
∴h(x)与u(x)恒有两个不同交点得实数t的取值范围是(0,1].

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