已知函数f(x)=5ax+5(a-1)x,(x≠0)(a≠0).(1)试就实数a的不同取值,写出该函数的单调递增区间;(2)已知当a>0时,函数在(0,6)上单调递减,在(6,+∞)上单调递增,求a的

题目简介

已知函数f(x)=5ax+5(a-1)x,(x≠0)(a≠0).(1)试就实数a的不同取值,写出该函数的单调递增区间;(2)已知当a>0时,函数在(0,6)上单调递减,在(6,+∞)上单调递增,求a的

题目详情

已知函数f(x)=
5
a
x+
5
(a-1)
x
,(x≠0)(a≠0).
(1)试就实数a的不同取值,写出该函数的单调递增区间;
(2)已知当a>0时,函数在(0,
6
)上单调递减,在(
6
,+∞)
上单调递增,求a的值并写出函数的解析式;
(3)若函数f(x)在区间[-
6
6
,0)∪(0,
6
6
]
内有反函数,试求出实数a的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)①当a<0时,函数f(x)的单调递增区间为(-
a(a-1)
,0)及(0,
a(a-1)
),
②当0<a≤1时,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,0)及(0,+∞),
③当a>1时,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-
a(a-1)
)及(
a(a-1)
,+∞).
(2)由题设及(1)中③知
a(a-1)
=
6
且a>1,解得a=3,
因此函数解析式为f(x)=
5
x
3
+
2
5
x
(x≠0).                    
(3)1#当a(a-1)>0即a<0或a>1时
由图象知
a(a-1)
6
6
解得a∈(-∞,
3-
15
6
]∪[
3+
15
6
,+∞)
2#当a=1时,函数为正比例函数,故在区间内存在反函数,所以a=1成立.
3#当a(a-1)<0,得到
a(a-1)
6
6
,从而得a∈(
3-
3
6
3+
3
6

综上a∈∈(-∞,
3-
15
6
]∪(
3-
3
6
3+
3
6
)∪{1}∪[
3+
15
6
,+∞)

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