首页 > 设函数y=f（x）是定义域为R的奇函数，且满足f（x-2）=-f（x）对一切x∈R恒成立，当-1≤x≤1时，f（x）=x3，则下列四个命题：①f（x）是以4为周期的周期函数．②f（x）在[1，3]上的

设函数y=f（x）是定义域为R的奇函数，且满足f（x-2）=-f（x）对一切x∈R恒成立，当-1≤x≤1时，f（x）=x3，则下列四个命题：①f（x）是以4为周期的周期函数．②f（x）在[1，3]上的

题目简介

设函数y=f（x）是定义域为R的奇函数，且满足f（x-2）=-f（x）对一切x∈R恒成立，当-1≤x≤1时，f（x）=x3，则下列四个命题：①f（x）是以4为周期的周期函数．②f（x）在[1，3]上的

题目详情

设函数y=f （x）是定义域为R的奇函数，且满足f （x-2）=-f （x）对一切x∈R恒成立，当-1≤x≤1时，f （x）=x3，则下列四个命题：
①f（x）是以4为周期的周期函数．
②f（x）在[1，3]上的解析式为f （x）=（2-x）3．
③f（x）在(
3
2
，f(
3
2
))处的切线方程为3x+4y-5=0．
④f（x）的图象的对称轴中，有x=±1，其中正确的命题是（　　）
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④
题型：单选题难度：中档来源：不详

答案

∵f （x-2）=-f （x）对一切x∈R恒成立，
∴f （x-4）=-f （x-2）=-[-f（x）]=f（x）∴f（x）是以4为周期的周期函数．①对
设1≤x≤3∴-1≤2-x≤1  又∵当-1≤x≤1时，f （x）=x3，
∴f（2-x）=（2-x）3=-f（x）∴f （x）=（2-x）3  ②对
∴f'（x）=-3（2-x）2∴f'（class="stub"3
2
）=-class="stub"3
4
=k
又∵f(class="stub"3
2
)=（2-class="stub"3
2
）3=class="stub"1
8
∴f （x）在(class="stub"3
2
，f(class="stub"3
2
))处的切线方程为：y-class="stub"1
8
=-class="stub"3
4
（x-class="stub"3
2
）即：3x+4y-5=0．③对
由f （x-2）=-f （x）=f（-x）知函数图象的一条对称轴为x=-1，又∵f（x）为奇函数，其图象关于y轴对称 
∴f （x）的图象的对称轴中，有x=1，故④对．
故选D．

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