设函数f(x)=x|x-a|+b.(1)当a=1,b=1时,求所有使f(x)=x成立的x的值.(2)若f(x)为奇函数,求证:a2+b2=0;(3)设常数b<22-3,且对任意x∈[0,1],f(x)

题目简介

设函数f(x)=x|x-a|+b.(1)当a=1,b=1时,求所有使f(x)=x成立的x的值.(2)若f(x)为奇函数,求证:a2+b2=0;(3)设常数b<22-3,且对任意x∈[0,1],f(x)

题目详情

设函数f(x)=x|x-a|+b.
(1)当a=1,b=1时,求所有使f(x)=x成立的x的值.
(2)若f(x)为奇函数,求证:a2+b2=0;
(3)设常数b<2
2
-3
,且对任意x∈[0,1],f(x)<0恒成立,求实数a的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)当a=1,b=1时,函数f(x)=x|x-1|+1.由x|x-1|+1=x,可解得x=1或x=-1
(2)若f(x)为奇函数,则对任意的x∈R都有f(-x)+f(x)=0恒成立,
即-x|-x-a|+b+x|x-a|+b=0,令x=0得b=0,令x=a得a=0,∴a2+b2=0
(3)由b=2
2
-3
<0,当x=0时,a取任意实数不等式恒成立.
当0<x≤1时,f(x)<0恒成立,即x+class="stub"b
x
<a<x-class="stub"b
x
恒成立.
令g(x)=x+class="stub"b
x
在0<x≤1上单调递增,∴a>gmax(x)=g(1)=1+b,.
令h(x)=x-class="stub"b
x
,则h(x)在(0,
-b
上单调递减,[
-b
,+∞)单调递增
当b<-1时,h(x)=x-class="stub"b
x
在0<x≤1上单调递减;
∴a<hmin(x)=h(1)=1-b,∴1+b<a<1-b.
而-1<b<2
2
-3
时,h(x)=x-class="stub"b
x
2
-b

∴a<hmin(x)=2
-b

∴1+b<a<2
-b

更多内容推荐