设函数f(x)=x+ax+1,x∈[0,+∞).(1)当a=2时,求函数f(x)的最小值;(2)当0<a<1时,试判断函数f(x)的单调性,并证明.-数学

题目简介

设函数f(x)=x+ax+1,x∈[0,+∞).(1)当a=2时,求函数f(x)的最小值;(2)当0<a<1时,试判断函数f(x)的单调性,并证明.-数学

题目详情

设函数f(x)=x+
a
x+1
,  x∈[0,+∞)

(1)当a=2时,求函数f(x)的最小值;
(2)当0<a<1时,试判断函数f(x)的单调性,并证明.
题型:解答题难度:中档来源:徐汇区一模

答案

(1)当a=2时,f(x)=x+class="stub"2
x+1
=x+1+class="stub"2
x+1
-1
.(2分)
≥2
2
-1
.(4分)
当且仅当x+1=class="stub"2
x+1
,即x=
2
-1
时取等号,
f(x)min=2
2
-1
.(6分)
(2)当0<a<1时,任取0≤x1<x2f(x1)-f(x2)=(x1-x2)[1-class="stub"a
(x1+1)(x2+1)
]
.(8分)
∵0<a<1,(x1+1)(x2+1)>1,
1-class="stub"a
(x1+1)(x2+1)
>0
.(10分)
∵x1<x2,∴f(x1)<f(x2),即f(x)在[0,+∞)上为增函数.(12分)

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