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> 设函数f(x)=x+ax+1,x∈[0,+∞).(1)当a=2时,求函数f(x)的最小值;(2)当0<a<1时,试判断函数f(x)的单调性,并证明.-数学
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题目简介
设函数f(x)=x+ax+1,x∈[0,+∞).(1)当a=2时,求函数f(x)的最小值;(2)当0<a<1时,试判断函数f(x)的单调性,并证明.-数学
题目详情
设函数
f(x)=x+
a
x+1
, x∈[0,+∞)
.
(1)当a=2时,求函数f(x)的最小值;
(2)当0<a<1时,试判断函数f(x)的单调性,并证明.
题型:解答题
难度:中档
来源:徐汇区一模
答案
(1)当a=2时,
f(x)=x+
class="stub"2
x+1
=x+1+
class="stub"2
x+1
-1
.(2分)
≥2
2
-1
.(4分)
当且仅当
x+1=
class="stub"2
x+1
,即
x=
2
-1
时取等号,
∴
f(x
)
min
=2
2
-1
.(6分)
(2)当0<a<1时,任取0≤x1<x2
f(
x
1
)-f(
x
2
)=(
x
1
-
x
2
)[1-
class="stub"a
(
x
1
+1)(
x
2
+1)
]
.(8分)
∵0<a<1,(x1+1)(x2+1)>1,
∴
1-
class="stub"a
(
x
1
+1)(
x
2
+1)
>0
.(10分)
∵x1<x2,∴f(x1)<f(x2),即f(x)在[0,+∞)上为增函数.(12分)
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已知f(x)=2x,x≤0f(x-1),x>0,则f(1+
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设函数f(x)=x+ax+1,x∈[0,+∞).(1)当a=2时,求函数f(x)的最小值;(2)当0<a<1时,试判断函数f(x)的单调性,并证明.-数学
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答案
≥2
当且仅当x+1=
∴f(x)min=2
(2)当0<a<1时,任取0≤x1<x2f(x1)-f(x2)=(x1-x2)[1-
∵0<a<1,(x1+1)(x2+1)>1,
∴1-
∵x1<x2,∴f(x1)<f(x2),即f(x)在[0,+∞)上为增函数.(12分)