首页 > 已知f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1与x=-23时都取得极值．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若x∈[-1，2]，都有f（x）-c2＜0成立，求c的取值范围．-数学

已知f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1与x=-23时都取得极值．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若x∈[-1，2]，都有f（x）-c2＜0成立，求c的取值范围．-数学

题目简介

已知f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1与x=-23时都取得极值．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若x∈[-1，2]，都有f（x）-c2＜0成立，求c的取值范围．-数学

题目详情

已知f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1与x=-
2
3
时都取得极值．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若x∈[-1，2]，都有f（x）-c2＜0成立，求c的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）由已知，f'（x）=3x2+2ax+b，∵在x=1与x=-class="stub"2
3
时取极值，
∴
f′(1)=0
f′(class="stub"2
3
)=0
即
3+2a+b=0
3×(-class="stub"2
3
)2+2a×(-class="stub"2
3
)+b=0

解得a=-class="stub"1
2
，b=-2，故a，b的值为：-class="stub"1
2
，-2
（Ⅱ）（解法一）由（I）知f(x)=x3-class="stub"1
2
x2-2x+c．由f(x)-c2＜0得：x3-class="stub"1
2
x2-2x＜c2-c在[-1，2]上恒成立．
设g(x)=x3-class="stub"1
2
x2-2x(x∈[-1，2])，g′(x)=3x2-x-2．…（8分）
由g′(x)=0得，x=-class="stub"2
3
或x=1．，g(-1)=class="stub"1
2
，g(-class="stub"2
3
)=class="stub"22
27
，g(1)=-class="stub"3
2
，g(2)=2．…（10分）
∴[g（x）]max=2，∴2＜c2-c解得，c＜-1或c＞2．，
∴c的取值范围为（-∞，-1）∪（2，+∞）．
（解法二）由（I）知f(x)=x3-class="stub"1
2
x2-2x+c．，∴f'（x）=3x2-x-2．…（8分）
①当x∈[-1，-class="stub"2
3
)时，f′(x)＞0；②当x∈[-class="stub"2
3
，1)时，f′(x)＜0；
③当x∈[1，2]时，f′(x)＞0；∴当x=-class="stub"2
3
时，f(x)有极大值class="stub"22
27
+c．
而f(-1)=class="stub"1
2
+c，f(2)=2+c，…（10分）
∴当x∈[1，2]时，f（x）的最大值为f（2）=2+c．
对x∈[1，2]，f(x)＜class="stub"1
x
恒成立∴2+c＜c2，
故c的取值范围为（-∞，-1）∪（2，+∞）．…（12分）

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