已知函数f(x)=x2+ax+11x+1(a∈R),若对于任意的X∈N*,f(x)≥3恒成立,则a的取值范围是______.-数学

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已知函数f(x)=x2+ax+11x+1(a∈R),若对于任意的X∈N*,f(x)≥3恒成立,则a的取值范围是______.-数学

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已知函数f(x)=
x2+ax+11
x+1
(a∈R),若对于任意的X∈N*,f(x)≥3恒成立,则a的取值范围是______.
题型:填空题难度:中档来源:不详

答案

∵x∈N*,
∴f(x)=
x2+ax+11
x+1
≥3恒成立⇔x2+ax+11≥3x+3恒成立,
∴ax≥-x2-8+3x,又x∈N*,
∴a≥-class="stub"8
x
-x+3恒成立,
∴a≥g(x)max,
令g(x)=-class="stub"8
x
-x+3(x∈N*),再令h(x)=x+class="stub"8
x
(x∈N*),
∵h(x)=x+class="stub"8
x
在(0,2
2
]上单调递减,在[2
2
,+∞)上单调递增,而x∈N*,
∴h(x)在x取距离2
2
较近的整数值时达到最小,而距离2
2
较近的整数为2和3,
∵h(2)=6,h(3)=class="stub"17
3
,h(2)>h(3),
∴当x∈N*时,h(x)min=class="stub"17
3
.又g(x)=-class="stub"8
x
-x+3=-h(x)+3,
∴g(x)max=-class="stub"17
3
+3=-class="stub"8
3

∴a≥-class="stub"8
3

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