已知f(x)=ax3+bx2+cx在区间[0,1]上是增函数,在区间(-∞,0),(1,+∞)上是减函数,又f′(12)=32.(Ⅰ)求f(x)的解析式;(Ⅱ)若在区间[0,m](m>0)上恒有f(x

题目简介

已知f(x)=ax3+bx2+cx在区间[0,1]上是增函数,在区间(-∞,0),(1,+∞)上是减函数,又f′(12)=32.(Ⅰ)求f(x)的解析式;(Ⅱ)若在区间[0,m](m>0)上恒有f(x

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已知f(x)=ax3+bx2+cx在区间[0,1]上是增函数,在区间(-∞,0),(1,+∞)上是减函数,又f′(
1
2
)=
3
2

(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)若在区间[0,m](m>0)上恒有f(x)≤x成立,求m的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:陕西

答案

(Ⅰ)f'(x)=3ax2+2bx+c,由已知f'(0)=f'(1)=0,
c=0
3a+2b+c=0

解得
c=0
b=-class="stub"3
2
a

∴f'(x)=3ax2-3ax,
f′(class="stub"1
2
)=class="stub"3a
4
-class="stub"3a
2
=class="stub"3
2

∴a=-2,
∴f(x)=-2x3+3x2.
(Ⅱ)令f(x)≤x,即-2x3+3x2-x≤0,
∴x(2x-1)(x-1)≥0,
0≤x≤class="stub"1
2
或x≥1.
又f(x)≤x在区间[0,m]上恒成立,
0<m≤class="stub"1
2

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