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> 已知函数y=f(x)(x∈D),方程f(x)=x的根x0称为函数f(x)的不动点;若a1∈D,an+1=f(an)(n∈N*),则称{an}为由函数f(x)导出的数列.设函数g(x)=4x+2x+3,
已知函数y=f(x)(x∈D),方程f(x)=x的根x0称为函数f(x)的不动点;若a1∈D,an+1=f(an)(n∈N*),则称{an}为由函数f(x)导出的数列.设函数g(x)=4x+2x+3,
题目简介
已知函数y=f(x)(x∈D),方程f(x)=x的根x0称为函数f(x)的不动点;若a1∈D,an+1=f(an)(n∈N*),则称{an}为由函数f(x)导出的数列.设函数g(x)=4x+2x+3,
题目详情
已知函数y=f(x)(x∈D),方程f(x)=x的根x
0
称为函数f(x)的不动点;若a
1
∈D,a
n+1
=f(a
n
)(n∈N
*
),则称{a
n
} 为由函数f(x)导出的数列.
设函数g(x)=
4x+2
x+3
,h(x)=
ax+b
cx+d
(c≠0,ad-bc≠0,
(d-a)
2
+4bc>0)
(1)求函数g(x)的不动点x
1
,x
2
;
(2)设a
1
=3,{a
n
} 是由函数g(x)导出的数列,对(1)中的两个不动点x
1
,x
2
(不妨设x
1
<x
2
),数列求证
{
a
n
-
x
1
a
n
-
x
2
}
是等比数列,并求
lim
n→∞
a
n
;
(3)试探究由函数h(x)导出的数列{b
n
},(其中b
1
=p)为周期数列的充要条件.
注:已知数列{b
n
},若存在正整数T,对一切n∈N
*
都有b
n+T
=b
n
,则称数列{b
n
} 为周期数列,T是它的一个周期.
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
(1)
class="stub"4x+2
x+3
=x,即x2-x-2=0,得x1=-1,x2=2,
所以函数g(x)的不动点为x1=-1,x2=2.
(2):a1=3,an+1=g(an)=
4
a
n
+2
a
n
+3
,设cn=
a
n
+1
a
n
-2
,
则cn+1=
a
n+1
+1
a
n+1
-2
=
5
a
n
+5
2
a
n
-4
=
class="stub"5
2
a
n
+1
a
n
-2
=
class="stub"5
2
cn,c1=
a
1
+1
a
1
-2
=4.
所以数列{
a
n
+1
a
n
-2
}是等比数列,公比为
class="stub"5
2
,首项为4.
a
n
+1
a
n
-2
=4•
(
class="stub"5
2
)
n-1
得an=
8•
5
n-1
+
2
n-1
4•
5
n-1
-
2
n-1
.
lim
n→∞
a
n
=
lim
n→∞
8•
5
n-1
+
2
n-1
4•
5
n-1
-
2
n-1
=
lim
n→∞
8+
(
class="stub"2
5
)
n-1
4-
(
class="stub"2
5
)
n-1
=2.
(3):h(x)=
class="stub"ax+b
cx+d
=x,即cx2+(d-a)x-b=0.
因为△=(d-a)2+4ac>0,所以该方程有两个不相等的实数根x1,x2.
b1=p,bn+1=h(bn)=
a
b
n
+b
c
b
n
+d
,
b
n+1
-
x
1
b
n+1
-
x
2
=
a
b
n
+b
c
b
n
+d
-
a
x
1
+b
c
x
1
+d
a
b
n
+b
c
b
n
+d
-
a
x
2
+b
c
x
2
+d
=
c
x
2
+d
c
x
1
+d
•
b
n
-
x
1
b
n
-
x
2
,
则{
b
n
-
x
1
b
n
-
x
2
}是等比数列,首项为
p-
x
1
p-
x
2
,公比为
c
x
2
+d
c
x
1
+d
.
因为
b
n
-
x
1
b
n
-
x
2
=
p-
x
1
p-
x
2
(
c
x
2
+d
c
x
1
+d
)n-1,所以
b
n+T
-
x
1
b
n+T
-
x
2
=
p-
x
1
p-
x
2
(
c
x
2
+d
c
x
1
+d
)n+T-1.
数列{bn}为周期数列的充要条件是(
c
x
2
+d
c
x
1
+d
)n-1=(
c
x
2
+d
c
x
1
+d
)n+T-1,即(
c
x
2
+d
c
x
1
+d
)T=1.
故|
c
x
2
+d
c
x
1
+d
|=1,但x1≠x2,从而cx2+d=-cx1-d.x1+x2=-
class="stub"2d
c
=-
class="stub"d-a
c
,
故d=-a.
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若f(x)=ax-12,f(lga)=10,则a的值
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已知二次函数f(x)满足条件f(0)=1,及
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题目简介
已知函数y=f(x)(x∈D),方程f(x)=x的根x0称为函数f(x)的不动点;若a1∈D,an+1=f(an)(n∈N*),则称{an}为由函数f(x)导出的数列.设函数g(x)=4x+2x+3,
题目详情
设函数g(x)=
(1)求函数g(x)的不动点x1,x2;
(2)设a1=3,{an} 是由函数g(x)导出的数列,对(1)中的两个不动点x1,x2(不妨设x1<x2),数列求证{
(3)试探究由函数h(x)导出的数列{bn},(其中b1=p)为周期数列的充要条件.
注:已知数列{bn},若存在正整数T,对一切n∈N*都有bn+T=bn,则称数列{bn} 为周期数列,T是它的一个周期.
答案
所以函数g(x)的不动点为x1=-1,x2=2.
(2):a1=3,an+1=g(an)=
则cn+1=
所以数列{
(3):h(x)=
因为△=(d-a)2+4ac>0,所以该方程有两个不相等的实数根x1,x2.
b1=p,bn+1=h(bn)=
则{
因为
数列{bn}为周期数列的充要条件是(
故|
故d=-a.