若函数f(x)=a•2x-21+2x(a∈R)是R上的奇函数(1)求a的值,并利用定义证明函数f(x)在R上单调递增;(2)解不等式:f(-2)+f(log12(2x))≥0.-数学

题目简介

若函数f(x)=a•2x-21+2x(a∈R)是R上的奇函数(1)求a的值,并利用定义证明函数f(x)在R上单调递增;(2)解不等式:f(-2)+f(log12(2x))≥0.-数学

题目详情

若函数f(x)=
a•2x-2
1+2x
(a∈R)
是R上的奇函数
(1)求a的值,并利用定义证明函数f(x)在R上单调递增;
(2)解不等式:f(-2)+f(log
1
2
(2x))≥0
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)∵f(x)=
a•2x-2
1+2x
是R上的奇函数,
∴f(0)=0,解得a=2…2分
∴f(x)=
2(2x-1)
1+2x

证明:设x1<x2,则f(x1)-f(x2)=
2(2x1-1)
1+2x1
-
2(2x2-1)
1+2x2
…3分
=
4(2x1-2x2)
(1+2x1)(1+2x2)
…5分
∵y=2x是R上的增函数,
2x1-2x2<0,而(1+2x1)(1+2x2)>0,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),
∴函数f(x)在R上单调递增…7分
(2)由f(-2)+f(logclass="stub"1
2
(2x)
)≥0,且f(x)是R上的奇函数可得:f(logclass="stub"1
2
(2x)
)≥f(2)…8分
又f(x)在R上单调递增,
logclass="stub"1
2
(2x)
≥2…9分
解得0<x≤8…11分
∴不等式的解集是{x|0<x≤8}…12分

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