已知函数f(x)=1-a+lnxx,a∈R(I)求f(x)的极值;(II)若lnx-kx<0在(0,+∞)上恒成立,求k的取值范围;(III)已知x1>0,x2>0,且x1+x2<e,求证:x1+x2

题目简介

已知函数f(x)=1-a+lnxx,a∈R(I)求f(x)的极值;(II)若lnx-kx<0在(0,+∞)上恒成立,求k的取值范围;(III)已知x1>0,x2>0,且x1+x2<e,求证:x1+x2

题目详情

已知函数f(x)=
1-a+lnx
x
,a∈R
(I)求f(x)的极值;
(II)若lnx-kx<0在(0,+∞)上恒成立,求k的取值范围;
(III)已知x1>0,x2>0,且x1+x2<e,求证:x1+x2>x1x2
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(Ⅰ)∵f/(x)=class="stub"a-lnx
x2
,令f/(x)=0得x=ea
当x∈(0,ea),f/(x)>0,f(x)为增函数;
当x∈(ea,+∞),f/(x)<0,f(x)为减函数,
可知f(x)有极大值为f(ea)=e-a
(Ⅱ)欲使lnx-kx<0在(0,+∞)上恒成立,只需class="stub"lnx
x
<k
在(0,+∞)上恒成立,
g(x)=class="stub"lnx
x
(x>0).
由(Ⅰ)知,g(x)在x=e处取最大值class="stub"1
e
,∴k>class="stub"1
e

(Ⅲ)∵e>x1+x2>x1>0,由上可知f(x)=class="stub"lnx
x
在(0,e)上单调递增,
ln(x1+x2)
x1+x2
lnx1
x1
x1ln(x1+x2)
x1+x2
>lnx1
①,
同理
x2ln(x1+x2)
x1+x2
>lnx2

两式相加得ln(x1+x2)>lnx1+lnx2=lnx1x2
∴x1+x2>x1x2

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