已知函数f(x)=lnx,g(x)=2x-2.(1)试判断函数F(x)=(x2+1)f(x)-g(x)在[1,+∞)上的单调性;(2)当0<a<b时,求证:函数f(x)定义在区间[a,b]上的值域的长

题目简介

已知函数f(x)=lnx,g(x)=2x-2.(1)试判断函数F(x)=(x2+1)f(x)-g(x)在[1,+∞)上的单调性;(2)当0<a<b时,求证:函数f(x)定义在区间[a,b]上的值域的长

题目详情

已知函数f(x)=lnx,g(x)=2x-2.
(1)试判断函数F(x)=(x2+1)f (x)-g(x)在[1,+∞)上的单调性;
(2)当0<a<b时,求证:函数f(x)定义在区间[a,b]上的值域的长度大于
2a(b-a)
a2+b2
(闭区间[m,n]的长度定义为n-m).
(3)方程f(x)=
1
ex
-
2
ex
是否存在实数根?说明理由.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

解(1)∵F(x)=(x2+1)lnx-2x+2.
∴F′(x)=2xlnx+
x2+1
x
-2=2xlnx+
(x-1)2
x

∴当x≥1时,F′(x)≥0且仅当x=1时F′(x)=0
∴F(x)在(1,+∞)上单调递增(4分)
(2)∵0<a<b,f(x)在[a,b]上的值域为[lna,lnb]
∴要证值域的长度大于
2a(b-a)
a2+b2

即证lnb-lna>
2a(b-a)
a2+b2

只要证lnclass="stub"b
a
2(class="stub"b
a
-1)
1+(class="stub"b
a
)
2

∵0<a<b,
class="stub"b
a
>1
,令class="stub"b
a
=x

则只要证lnx>
2(x-1)
1+x2
(x>1)
即证(x2+1)lnx-(2x-2)>0(※)
由(1)可知F(x)在(1,+∞)上单调递增∴F(x)>F(1)=0
所以(※)式成立.
∴f(x)在[a,b]上的值域的长度大于
2a(b-a)
a2+b2
.(9分)
(3)∵f(x)=class="stub"1
ex
-class="stub"2
ex
⇔xlnx=class="stub"x
ex
-class="stub"2
e
 (x>0)

令h(x)=xlnx(x>0).则h′(x)=lnx+1
当x∈(0,class="stub"1
e
)时h′(x)<0,h(x)单调递减;
当x∈(class="stub"1
e
,+∞
)时,h′(x)>0,h(x)单调递增.所以h(x)min=h(class="stub"1
e
)=-class="stub"1
e

令空集(x)=class="stub"x
ex
-class="stub"2
e
(x>0)
,则∅′(x)=class="stub"1-x
ex

当x∈(0,1),空集'(x)>0,空集(x)单调递增;
当x∈(1,+∞)时,空集'(x)<0,空集(x)单调递减.
∴C(x)max=∅(1)=-class="stub"1
e

所以方程f(x)=class="stub"1
ex
-class="stub"2
ex
没有实根(13分)

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