任給实数a,b定义a⊕b=a×b,a×b≥0ab,a×b<0设函数f(x)=lnx⊕x,则f(2)+f(12)=______;若{an}是公比大于0的等比数列,且a5=1,f(a1)+f(a2)+f(

题目简介

任給实数a,b定义a⊕b=a×b,a×b≥0ab,a×b<0设函数f(x)=lnx⊕x,则f(2)+f(12)=______;若{an}是公比大于0的等比数列,且a5=1,f(a1)+f(a2)+f(

题目详情

任給实数a,b定义a⊕b=
a×b,a×b≥0
a
b
,     a×b<0
  设函数f(x)=lnx⊕x,则f(2)+f(
1
2
)=______;若{an}是公比大于0的等比数列,且a5=1,f(a1)+f(a2)+f(a3)…+f(a7)+f(a8)=a1,则a1=______.
题型:填空题难度:中档来源:不详

答案

∵a⊕b=
a×b,a×b≥0
class="stub"a
b
,     a×b<0
,∴f(x)=lnx⊕x=
xlnx    x≥1
class="stub"lnx
x
      0< x<1

∴f(2)+f(class="stub"1
2
)=2ln2+
lnclass="stub"1
2
class="stub"1
2
=2ln2+2lnclass="stub"1
2
=2ln2-2ln2=0;
∵{an}是公比大于0的等比数列,且a5=1,
故可设该数列的前8项分别为class="stub"1
q4
class="stub"1
q3
class="stub"1
q2
class="stub"1
q
,1,q,q2,q3,
故当q>1时,数列的前4项class="stub"1
q4
class="stub"1
q3
class="stub"1
q2
class="stub"1
q
均为(0,1)之间的数,
数列的6、7、8项q,q2,q3均大于1,
f(a1)+f(a2)+f(a3)…+f(a7)+f(a8)
=q4lnclass="stub"1
q4
+q3lnclass="stub"1
q3
+q2lnclass="stub"1
q2
+qlnclass="stub"1
q
+0+qlnq+q2lnq2+q3lnq3=-q4lnq4<0,
这与f(a1)+f(a2)+f(a3)…+f(a7)+f(a8)=a1=class="stub"1
q4
>0矛盾;
同理可得当0<q<1时,数列的前4项class="stub"1
q4
class="stub"1
q3
class="stub"1
q2
class="stub"1
q
均为大于1,
数列的6、7、8项q,q2,q3均为(0,1)之间的数,
f(a1)+f(a2)+f(a3)…+f(a7)+f(a8)=q4lnq4=a1=class="stub"1
q4

解得class="stub"1
q4
=e
,故a1=e
故答案为:0; e

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