首页 > 设函数f（x）=x2+m（m∈R）．（1）如果m=14，方程y=f（x）-kx在[-1，1]上存在零点，求k的取值范围；（2）如果m=-1，对任意x∈[23，+∞)，f(xm)-4m2f(x)≤f(x

设函数f（x）=x2+m（m∈R）．（1）如果m=14，方程y=f（x）-kx在[-1，1]上存在零点，求k的取值范围；（2）如果m=-1，对任意x∈[23，+∞)，f(xm)-4m2f(x)≤f(x

题目简介

设函数f（x）=x2+m（m∈R）．（1）如果m=14，方程y=f（x）-kx在[-1，1]上存在零点，求k的取值范围；（2）如果m=-1，对任意x∈[23，+∞)，f(xm)-4m2f(x)≤f(x

题目详情

设函数f（x）=x2+m（m∈R）．
（1）如果m=
1
4
，方程y=f（x）-kx在[-1，1]上存在零点，求k的取值范围；
（2）如果m=-1，对任意x∈[
2
3
，+∞)，f(
x
m
)-4m2f(x)≤f(x-1)+4f(m)恒成立，求实数m的取值范围；
（3）求h（x）=2f（x）+x|x-m|的最小值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）方程f（x）-kx=0，即x2-kx+class="stub"1
4
=0，故方程在[-1，1]上有解．令g(x)=x2-kx+class="stub"1
4
．
①若对称轴x=class="stub"k
2
在[-1，1]上，则有 
-1≤class="stub"k
2
≤1
△≥0
g(-1)≥0 ，  或g(1)≥0
，解得-2≤k≤-1或1≤k≤2．…（2分）
②若对称轴 x=class="stub"k
2
在[-1，1]的左侧，则有 
class="stub"k
2
＜-1
g(-1)•g(1)≤0
，解得k＜-2．…（4分）
③若对称轴 x=class="stub"k
2
在[-1，1]的右侧，则有
class="stub"k
2
＞1
g(-1)•g(1)≤0
 解得k≥2．
综合得k≤-1或k≥1．…（6分）
（2）当m=-1时，不等式f(class="stub"x
m
)-4m2f(x)≤f(x-1)+4f(m) 即，class="stub"1
m2
-4m2≤-class="stub"3
x2
-class="stub"2
x
+1，x∈[class="stub"3
2
，+∞)．…（8分）
因为y=-class="stub"3
x2
-class="stub"2
x
+1=-3(class="stub"1
x
+class="stub"1
3
)2+class="stub"4
3
，class="stub"1
x
∈(0，class="stub"2
3
]，当class="stub"1
x
=class="stub"2
3
，x=class="stub"3
2
时，ymin=-class="stub"5
3
．
∴class="stub"1
m2
-4m2≤-class="stub"5
3
，即（3m2+1）（4m2-3）≥0，∴m≤-
3
2
，或m≥
3
2
．…（10分）
（3）①当x≥m时，f（x）=3x2-mx+2m，如果m≥0，f(x)min=2m2+2m； 如果m＜0，f(x)min=2m-
m2
12
．
②当x≤m时，f（x）=x2+mx+2m，如果m≥0，f(x)min=-
m2
4
+2m；如果m＜0，f(x)min=2m2+2m．
由于2m2+2m-(-
m2
4
+2m)≥0，2m-
m2
12
-（2m2+2m）≤0，
所以f(x)min=
2m-
m2
4
，m≥0
2m-
m2
12
，m＜0.
． …（16分）

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