已知函数f(x)=ax3+bx2+cx是R上的奇函数,且f(1)=2,f(2)=10,(1)确定函数f(x)的解析式;(2)用定义证明f(x)在R上是增函数;(3)若关于x的不等式f(x2-4)+f(

题目简介

已知函数f(x)=ax3+bx2+cx是R上的奇函数,且f(1)=2,f(2)=10,(1)确定函数f(x)的解析式;(2)用定义证明f(x)在R上是增函数;(3)若关于x的不等式f(x2-4)+f(

题目详情

已知函数f(x)=ax3+bx2+cx是R上的奇函数,且f(1)=2,f(2)=10,
(1)确定函数f(x)的解析式;
(2)用定义证明f(x)在R上是增函数;
(3)若关于x的不等式f(x2-4)+f(kx+2k)<0在x∈(0,1)上恒成立,求k的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)∵函数f(x)是奇函数
∴f(-x)=-f(x)即-ax3+bx2-cx=-ax3-bx2-cx
∴2bx2=0对于任意x都成立
即b=0
f(1)=2,f(2)=10  
a+c=2
8a+2c=10
解得a=c=1

∴函数的解析式是f(x)=x3+x    5分
(2)证明:设x1,x2是R上的任意两个不相等的实数,且x1<x2,
则△y=f(x2)-f(x1)=x23+x2-x13-x1=(x2-x1)(x22+x1x2+x12)+(x2-x1)
=(x2-x1)(
x22
+
x 1
x2+
x21
+1)=(x2-x1)[(x2+
x 1
2
)2+
3
x21
4
+1]

∵x2-x1>0,(x2+
x 1
2
)2+
3
x21
4
+1>0
∴△y>0
∴函数f(x)在R上是增函数 (10分)
(3)∵f(x2-4)+f(kx+2k)<0
∴f(x2-4)<-f(kx+2k)=f(-kx-2k)
又因为f(x)是增函数,即x2-4<-kx-2k
∴x2+kx+2k-4<0在(0,1)上恒成立.(12分)
法(一)令g(x)=x2+kx+2k-4,x∈(0,1)
g(0)=2k-4≤0
g(1)=3k-3≤0
  解得k≤1

∴k的取值范围是(-∞,1]14分
法(二)上式可化为k(x+2)<4-x2
∵x∈(0,1)即x+2>0∴k<
4-x2
x+2
=2-x

令U(x)=2-x,x∈(0,1)
∵U(x)=2-x在(0,1)上是减函数
∴U(x)<1即k≤1.(14分)

更多内容推荐